Una versión de límite de Cauchy ' teorema s

Question

Estoy buscando una referencia para el siguiente teorema (o algo parecido) que no es de Kodaira del libro.

Deje $D$ ser un dominio y $\overline{D}$ es de cierre. Supongamos que $f:\overline{D} \rightarrow \mathbb{C}$ es holomorphic en $D$ y continua en $\overline{D}$. Si el límite de $D$, denotado $\partial D$ está compuesto de trozos $C^1$ curvas, a continuación, $$f(w) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-w}dz$$ para todos los $w\in D$.

Esto es más fuerte que la clásica de la integral de Cauchy teorema, porque aquí podemos permitir que el camino que hemos de integrar a ser el límite. Esto aparece en Kodaira del libro, pero el libro parece descuidada por escrito y he encontrado un flagrante error en las primeras páginas, así que me gustaría otra referencia.

Esto no aparece en Ahlfors o cualquier otra norma de texto me miró. Estoy buscando alguna prueba de que se extiende a los habituales del teorema de Cauchy para permitir que los caminos que se encuentran en el límite de una región, en lugar de exigirles que se sitúan en su totalidad en el abierto de la región como la habitual versión no.

Me las arreglé para encontrar un documento que traza una alta potencia a prueba cuando el límite es una subsanables en Jordania arco (o algunos se multiplican conectado región, donde cada límite componente es) y da una referencia a un más elemental de la prueba de el mismo resultado. Creo que una simple prueba debe ser posible en este caso, donde el límite es la que asume el ser $C^1$.

Esto está estrechamente relacionado con una vieja pregunta que no recibe mucha atención.

Answer 1

Supongo que aquí que quiere decir que el límite de $D$ es un número finito de pares distintos de las curvas. En este caso, esta fórmula de Cauchy se desprende directamente de Mergelyan del Teorema acerca de uniform rational aproximación de holomorphic funciones. De hecho, la fórmula se cumple para funciones racionales con polos fuera de $\overline{D}$, y Mergelyan del Teorema dice que cualquier $f$ continua en $\overline{D}$, holomorphic en $D$, se puede aproximar uniformemente en $\overline{D}$ por funciones racionales con polos fuera de $\overline{D}$.

También funciona bajo el más débil de la hipótesis de que las curvas son subsanables.

Answer 2

Para dominios con (por trozos) $C^1$ límite, hay una prueba simple, aplicando el teorema de Stokes, al menos si usted asume que $f$ extiende a $C^1$ $\bar D$. Un pequeño cálculo mostrará $f \in C^1(\bar D)$,

$$2\pi i f(w) = \int_{\partial D} \frac{f(z)}{z-w}\,dz + \iint_D \frac{\frac{\partial f}{\partial \bar z}}{z-w}\,dz\wedge d\bar z,$ $ de que sigue la versión de Teorema de Cauchy.

Voy a intentar desenterrar una referencia para el caso de $C(\bar D)$.

Answer 3

Mis disculpas en mi mala interpretación de la primera vez. $f$ Es continua en $\overline D$, $\delta>0$ $|w|<1-\delta$, sabremos que es uniformemente continua en $$\frac{f(z)}{z-w}$ Cauchy integrando $\{z: 1-\delta\le z\le 1\}$ $, y así que la integral sobre el círculo de radio $1-\delta$ converge a la integral sobre $\partial D$.