¿Cómo integrar $\int_{-3}^3 (x^2-3)^{3} \,dx$ sin ampliar el polinomio?

Question

Cómo puedo integrar:

$$\int_{-3}^3 (x^2-3)^{3} \,dx,$$

ampliando el polinomio ni usando la relación entre la integral y derivados? ¿Quiero decir, hay una manera de calcular esta integral por ejemplo utilizando propiedades de la integral? ¿como la invariación de la traducción?

Gracias.

Answer 1

Quizás más que un poco de exageración, pero usted puede obtener una generación de función para todas las integrales de $J_n = \int_{-3}^3 (x^2-3)^n \; dx$:

$$\eqalign{g(t) &= \sum_{n=0}^\infty t^n J_n\cr & = \int_{-3}^3 \sum_{n=0}^\infty t^n (x^2-3)^n\; dx \cr &= \int_{-3}^3 \dfrac{dx}{1 + 3 t - t x^2}\cr &= \dfrac{2}{\sqrt{3t^2+t}} \text{arctanh}\left( \dfrac{3\sqrt{t}}{\sqrt{3t+1}}\right)\cr}$$

Y, a continuación, tomar los primeros términos de la serie de Taylor:

$$g(t) = 6 + \dfrac{216}{5} t^2 + \dfrac{2592}{35} t^3 + \ldots $$

de modo que $J_3 = 2592/35$.

Si esta última es demasiado parecido a una "ampliación": $g(t)$ satisface la ecuación diferencial

$$ 72 t g(t) + (144 t^2 + 12 t - 3) g'(t) + (36 t^3 + 6 t^2 - 2 t) g''(t) = 0$$

a partir de la cual podemos obtener una recursividad para los coeficientes $J_n$: $$ \left( 36\,n+36 \right) J_n + \left( 6\,n+6 \right) J_{n+1} + \left( -2\,n-5 \right) J_{n+2} = 0$$ Dado que el $J_0 = 6$ $J_1 = 0$ (que son fáciles de calcular), el caso de $n=0$ nos da $216 - 5 J_2 = 0$, lo $J_2 = 216/5$, y, a continuación, $n=1$ nos da $2592/5 - 7 J_3 = 0$ o $J_3 = 2592/35$.

Answer 2

Para $\theta$ $\mathbb{R}$ definir $I(\theta) = \int_{-3}^{3}{({x^2-3\theta})^3 dx}$. Tenga en cuenta que el integrando es un polinomio en a $\theta$ grado $3$ y debido a que se están integrando en $x$, $I(\theta)$ es un polinomio en a $\theta$ de grado menor o igual a $3$. Debido a esto, $I(\theta)$ está de acuerdo con su polinomio de Taylor de orden $3$ centrada en $0$. La diferenciación bajo el signo integral, se puede calcular

$$ I^{(n)} (0) = \frac{\partial ^ nI}{\partial \theta^n} \bigg|_{\theta = 0} = \int_{-3}^{3}{ \frac{\partial^n}{\partial \theta^n} ({x^2-3\theta})^3 \bigg|_{\theta = 0} dx}$$

Tenga en cuenta que debido a que se están evaluando en $\theta=0$ usted no tendrá que ampliar los poderes. Consigue $$I(\theta) = \frac{2}{7}\cdot3^7 - \frac{2}{5} \cdot 3^7 \cdot\theta + 2 \cdot 3^5 \cdot\theta^2 - 2 \cdot 3^4 \cdot\theta^3$$

Ahora $I(1) = \frac{2592}{35}$.

Answer 3

$$\int_{-3}^{3}(x^2-3)^3\,dx = 81 \int_{-1}^{1}(3u^2-1)^3\,du \stackrel{IBP}{=}81\left(16-18\int_{-1}^{1}x^2(3x^2-1)^2\,dx\right)\tag{1}$$

Ahora podemos aprovechar el hecho de que la última integral es una norma de $L^2$.
Desde entonces, en términos de polinomios de Legendre: %#% $ de #% tenemos: $$ x(3x^2-1) = \frac{4}{5}\,P_1(x) + \frac{6}{5}\,P_3(x) \tag{2}$ $ y el original integral es igual a $$ \int_{-1}^{1} x^2(3x^2-1)^2\,dx = \frac{16}{25}\cdot\frac{2}{3}+\frac{36}{25}\cdot\frac{2}{7} = \frac{88}{105}\tag{3}$.
Probablemente $\color{red}{\large\frac{2592}{35}}$ cuenta como una extensión, pero es bastante fácil.