Tensores de rango dos en física y matemáticas

Question

En física, uno podría hablar de un tensor de segundo rango de nueve componentes (en tres dimensiones) usualmente se escribe como

$$T = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33}\end{bmatrix}$$ y habla de cómo los cambios en otros sistemas de coordenadas.

Matemáticas habla de los tensores de tensor de productos tales como $V\otimes V$ $V^* \otimes V^*$ donde por ejemplo,$V=\mathbb{R}^3$.

Ahora mi confusión que se ilustra en el siguiente ejemplo de una física tipo de tensor de que es el producto directo de los

$$T = U V^t= \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{bmatrix}$$

Es esta la física tensor supone que debe ser identificado con una matemática estilo tensor en $\mathbb{R}^3 \otimes \mathbb{R}^3$ o en ${\mathbb{R}^3}^* \otimes {\mathbb{R}^3}^*$?

Identificado con las matemáticas estilo tensor $U\otimes V \in \mathbb{R}^3 \otimes \mathbb{R}^3$, entonces si la transformada de coordenadas que la física definición habla de que está escrito como $U'=AU$ $V'=AV$ donde $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$$ la forma en que la física tensor de transformar la regla viene alrededor de la $$T' = U'{V'}^t=AUV^tA^t=ATA^t$$

Pero desde que la noción de un tensor se supone que debe ser una forma multilineal no nos suponga que pensar en él como en ${\mathbb{R}^3}^* \otimes {\mathbb{R}^3}^*$? Así que no deberíamos identificar con una matemática estilo tensor $U\otimes V \in {\mathbb{R}^3}^* \otimes {\mathbb{R}^3}^*$ porque podemos pensar que la función de $f(x,y) = y^tTx = y^tUV^tx$ construido a partir de los funcionales lineales $y^tU$$V^tx$. Si la transformada de coordenadas que la física definición habla de que está escrito como $x'=Ax$ $y'=Ay$ a continuación la manera de la física tensor de transformar la regla viene alrededor de la ${y'}^tT'x' = y^tA^tT'Ax = y^tTx$

Cual es la forma correcta de identificar el tensor de la física con las matemáticas vista y cuál es el camino correcto para la la forma en que la física tensor de transformar la regla?

Answer 1

Ok, en 3 dimensiones reales de espacio vectorial, $V$, cada tensor de rango dos puede ser considerado como bilineal en cada uno de los 4 siguientes casos:

Si $B\in V^*\otimes V^*$ $B$ es un emparejamiento $V\times V\to\Bbb{R}$
a través de $(v,w)\to B(v,w)=v^{\top}Bw$ o en los componentes de $B(v,w)=v^sw^tB_{st}$;

Si $B\in V\otimes V$ $B$ es un emparejamiento $V^*\times V^*\to\Bbb{R}$
a través de $(f,g)\to B(f,g)=fBg^{\top}$ o en los componentes de $B(f,g)=f_sg_tB^{st}$;

Si $B\in V^*\otimes V$ $B$ es un emparejamiento $V\times V^*\to\Bbb{R}$
a través de $(v,f)\to B(v,f)=v^{\top}Bf^{\top}$ o en los componentes de $B(v,f)=v^sf_t{B_s}^t$;

Si $B\in V\otimes V^*$ $B$ es un emparejamiento $V^*\times V\to\Bbb{R}$
a través de $(f,v)\to B(f,v)=fBv$ o en los componentes de $B(f,v)=f_sv^t{B^s}_t$.

Donde $v=v^se_s=\left(\begin{array}{c} v^1\\ v^2\\ v^3 \end{array}\right)$ para un vector (similar para $w$), y $f=f_s\varepsilon^s=(f_1,f_2,f_3)$ para un covector (similar para $g$).

Usted puede ver cómo las 4 formas de índice con dos índices son utilizados de manera eficiente.

En el momento en el que hay un cambio de base se utiliza $b_k={C^s}_ke_s$ $\beta^k={A_s}^k\varepsilon^s$ encontrar cómo el tensor de la $B$ cambios en cada uno de los 4 casos anteriores.