Caracterización algebraica de espacios transitivos de matrices

Question

Fijar un número entero $d \ge 2$ y que $M_d$ sea el espacio de los reales $d \times d$ matrices. Sea $E$ sea un subespacio vectorial de $M_d$ . Decimos que $E$ es transitivo si $E \cdot \mathbb{R}^d_* = \mathbb{R}^d$ es decir, para todos los vectores $v \in \mathbb{R}^d_* = \mathbb{R}^d-\{0\}$ y $w \in \mathbb{R}^d$ existe una matriz $A \in E$ tal que $A \cdot v = w$ .

La pregunta es cómo determinar algebraicamente si un espacio de matrices es transitivo o no .

Más concretamente, ¿qué condiciones algebraicas (es decir, polinómicas) sobre las entradas de las matrices $A_1,...,A_k$ expresan el hecho de que el espacio $E$ que abarcan es no transitiva?

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Observaciones:

1) Fijar el número $k$ de generadores de $E$ . Sea $Z$ sea el subconjunto de $\mathbb{R}^{kd^2}$ correspondiente al $k$ -partidas de matrices que generan un conjunto no transitivo. Que $Z$ es la proyección de un conjunto algebraico, y por lo tanto, por el teorema de Tarski-Seidenberg, es un semialgebraico conjunto.

2) Considere el problema análogo con matrices y vectores complejos en $\mathbb{C}^d$ y que $Z_C$ sea el conjunto correspondiente a $Z$ arriba. Entonces $Z$ es algebraico (proyectar todo y aplicar el teorema que dice que la pproyección de lo algebraico es algebraico). De todas formas lo que me gustaría ver son las ecuaciones explícitas de este conjunto algebraico.

Answer 1

Esta es la verdadera respuesta:

Un espacio de matrices es transitivo si su "complemento ortogonal" no contiene ninguna matriz de rango uno.

La idea no es mía; la encontré en la sección 4 del documento que aparece a continuación (ver también algunos documentos más modernos y más legibles que lo citan):

Azoff, E.A. On finite rank operators and preannihilators. Mem. Amer. Math. Soc. 64, no. 357 (1986).

Answer 2

La condición para $E$ para ser intransitivo es que la forma determinante es la $0$ forma en algún lugar que no sea el origen. Es decir, todo vector $v \in \mathbb R^d$ le da una alternancia $d$ -formar en $M_d$ y en $E$ por el determinante de las imágenes de $v$ . Esta forma es distinta de cero en un vector si y sólo si las imágenes del vector por $E$ son todos de $\mathbb R^d$ .

Edición: Tienes razón en que lo anterior no era una respuesta completa.

Para ser más explícito con las bases de todo: Dejemos que $E$ tienen dimensión $D$ con $d \le D \le d^2$ . Sea $E$ tienen una base $\{E_1, ... E_D \}$ para que cada elemento de $E$ está representado por un vector $(a_1,...,a_D)$ . Representar cada elemento de $\mathbb R^d$ por un vector $(b_1,....,b_d)$ .

Entonces, para cualquier vector $(b_1,....,b_d)$ la forma determinante es una alternancia $d$ -formar en $E$ identificado con $\mathbb R^D$ . Estas formas tienen una base de tamaño ${D \choose d}$ dado por los determinantes de $d\times d$ menores, es decir, proyectar a un determinado $d$ coordenadas, y tomar el determinante. Para comprobar si la forma determinante es la $0$ $d$ -forma, expresarlo en términos de la base, y ver si todos ${D \choose d}$ Los coeficientes son $0$ . Es decir, comprobar si el ${D \choose d}$ determinantes $\det [E_{f(1)}v, ..., E_{f(d)}v]$ son todos $0$ para cada función de valor entero $f$ con $1 \le f(1) \lt f(2) \lt ... \lt f(d) \le D$ .

Al dejar que $v$ varían pero fijan una base para $E$ los coeficientes de la forma determinante son polinomios homogéneos de grado $d$ en las coordenadas $\{b_i\}$ . La variedad de intersecciones de los ceros de esos polinomios en $\mathbb R^d$ es el origen si y sólo si $E$ es transitivo.

Esto le proporciona una prueba para un $E$ en términos de reconocer si una variedad es sólo un punto. Todavía deja la condición de $E$ en el Grassmanniano como proyección de una variedad.