¿Es una red completa en cadena una red completa sin el axioma de elección?

Question

Esta pregunta se inspira en este pregunta. Consideremos el siguiente resultado:

Dejemos que $(L,\leq)$ ser un cadena-completa celosía . Entonces $(L,\leq)$ es un red completa .

¿Puede demostrarse este resultado sin utilizar el axioma de elección?

Para completar, aquí hay una prueba de que el resultado se mantiene bajo el axioma de elección: Sea $S\subseteq L$ . Queremos demostrar que $S$ tiene un límite superior. Dado que $\emptyset$ es una cadena, podemos suponer que $S\neq\emptyset$ . Sea $\preceq$ sea una ordenación de pozos de $S$ . Arreglar $s\in S$ . Defina una secuencia transfinita de la siguiente manera: Sea $s_0=s$ . Para un ordinal sucesor $\alpha+1$ dejamos que $s_{\alpha+1}=s_\alpha\vee m$ con $m$ siendo el $\preceq$ -el elemento más pequeño en $S$ que no sea menor que $s_\alpha$ . Para un ordinal límite $\beta$ , dejemos que $s_\alpha=\sup_{\beta<\alpha}s_\alpha$ que existe como supremacía de una cadena. El rango de esta secuencia es claramente una cadena y su supremum es el supremum de $S$ . Que $S$ tiene un ínfimo se sigue de la forma habitual tomando el ínfimo como la suma de todos los límites inferiores.

Answer 1

Dejemos que $A$ sea un conjunto amorfo, es decir, un conjunto infinito en el que cada subconjunto es finito o cofinito. Sea $L$ sea la colección de subconjuntos finitos de $A$ ordenados por inclusión.

De Jech's El axioma de la elección En el capítulo 4, ejercicio 10, tenemos que $A$ es T-finito, es decir, toda cadena tiene un elemento maximal. Este elemento máximo es, efectivamente, el supremum de la cadena.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que, obviamente, no se trata de una red completa, ya que la colección de singletons claramente no tiene un límite superior en esta red.

En aras de la exhaustividad, demostremos el hecho anterior en las cadenas. Supongamos que $D$ es una cadena infinita, en particular hay a lo sumo un elemento de cada cardinalidad finita. La unión, entonces, es un subconjunto contable de $A$ en contradicción con su finitud Dedekind.

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Pensando un poco en esto, podemos generalizar fácilmente esta prueba para demostrar que $DC_\kappa$ no es suficiente para demostrar la equivalencia que se busca:

Decimos que $A$ es $\kappa$ -amorfo si todo subconjunto de $A$ es de tamaño $<\kappa$ o su complemento es. En esta terminología amorfo es $\omega$ -amorfo.

Es coherente tener $A$ que es $\kappa$ -amorfo junto con $DC_{<\kappa}$ . En este contexto, la colección de conjuntos de cardinalidad $<\kappa$ ordenada por inclusión tiene las mismas propiedades que la anterior (sustituyendo el elemento maximal por el supremum). Pero no hay $\kappa$ -cadenas. Una vez más, los monotones demuestran la falta de límite superior.