Espectáculo $\int_0^\infty f\left(x+\frac{1}{x}\right)\,\frac{\ln x}{x}\,dx=0$ si $f(x)$ es un delimitada no negativo de la función de

Question

Lema

Si $f(x)$ es un almacén de la no-función negativa, entonces \begin{equation}\int_0^\infty f\left(x+\frac{1}{x}\right)\,\frac{\ln x}{x}\,dx=0\end{equation}

Me encontré con este lema en internet y parece que será útil para mí para evaluar la integral de problemas en el futuro. Por desgracia, sin la prueba y, por desgracia, no sé cómo demostrarlo. Honestamente, no soy bueno en este tipo de problema. Así que, realmente necesito tu ayuda. Yo estaría muy agradecido si usted me podría ayudar para demostrarlo.

Editar :

Estoy realmente lo siento por las preguntas adicionales. Quiero saber por qué debe $f(x)$ ser un delimitada no negativo de la función? ¿Podría dar un ejemplo de problema para aplicar el lema? Explique su respuesta. Gracias.

Answer 1

Acaba de sustituir a $u = \frac{1}{x}$ y obtener

$$\int_\infty^0 f\left(u+\frac{1}{u}\right) \frac{\ln u}{u}\,du.$$

Nota el interruptor de la integral de los límites.

Quiero saber por qué debe $f(x)$ ser un delimitada no negativo de la función?

No tiene que ser, todo lo que necesita es que la integral existe, sea como una integral de Lebesgue o impropia de Riemann integral. Dado que el factor de $\frac{\ln x}{x}$ tiende a $0$ $x\to\infty$ casi lo suficientemente rápido como para ser integrable, bastante lento decaimiento de $f$ en el infinito es suficiente para garantizar la existencia de la integral, por ejemplo, si $\lvert f(t)\rvert \leqslant C\cdot(\log t)^{-(2+\delta)}$ para algunas constantes positivas $C$ $\delta$ (e $f$ es medible), la integral existe como una integral de Lebesgue. También, la integral existe como una integral de Lebesgue si $f$ es Lebesgue integrable. Impropia de Riemann integral, también existe si $f$ oscila de forma adecuada, sin necesidad de una disminución de la amplitud, por ejemplo, para $f = \sin$ o $f = \cos$.

Usted puede relajarse esa condición, si usted interpretar la integral como

$$\lim_{\varepsilon\searrow 0} \int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon} f\left(x+\frac{1}{x}\right) \frac{\ln x}{x}\,dx,$$

principal valor de la integral. Sólo necesitará $f$ a ser localmente integrable, la sustitución de muestra que estas integrales se $0$ todos los $\varepsilon > 0$.