Cuántas maneras de organizar las banderas?

Question

Hay dos distinguibles astas, y hay $19$ banderas, de los cuales, $10$ son idénticas banderas azules, y $9$ son idénticas banderas verdes. Deje $N$ el número de distinguible de acuerdos de uso de todas las banderas, en el que cada bandera tiene al menos un indicador y no hay dos banderas verdes en cualquiera de los polos adyacentes. Encontrar el resto al $N$ se divide por $1000$.

Este es un problema difícil, para ser honesto.

Deje $|$ distinguir los dos mástiles.

He intentado ordenarlo como:

$$G B GBGBGB | BGBGBGBGBGB$$

$$G G G GB | BGGGGGB$$

Hay: $\binom{12}{3} = 220$ a organizar el azul/verde. Luego se multiplica por $11$ debido a que la división de los polos.

$$= 220(11) = 2420$$

Y esta multiplicación por $11$ toma cuidado de , al menos, una bandera en el polo condición.

Entonces, ¿por qué es esta la respuesta equivocada?

Answer 1

Aquí está una manera simple de abordar el problema.

Blues en un mástil puede ir de 0 a 10.
Cuando 0 azul está en un asta de bandera (lo que significa que 1 verde es la que hay), no se ${11\choose 8}$ maneras de colocar los verdes, otra cosa no se ${12\choose 9}$ maneras de colocar los verdes.

Por lo tanto # de arreglos = $2\cdot{11\choose 8} + 9\cdot{12\choose 9}= 2310$

y el resto de dividir por 1000 = 310

Answer 2

No podemos cambiar el número de arreglos si estipulamos que hay en lugar de 12 banderas azules y 9 banderas verdes, y cada indicador debe ser cubierto con una bandera azul. La razón es que podemos ir hacia atrás y hacia adelante por la adición/eliminación de la bandera azul de la parte superior de cada uno de los postes.

Ahora la ventaja de este cambio es que ahora cada indicador verde está garantizado para tener la bandera azul después. Así que en lugar de 12 azules y 9 verde, tenemos 3 azules y 9 [Verde-Azul] trozos. Por lo que podemos organizar estos 12 símbolos en cualquier orden, y, a continuación, hacer una brecha en cualquiera de los 11 lagunas. Esto se puede hacer en: $\binom{12}{3}\cdot 11$ maneras. Pero podríamos haber creado un vacío de la asta de bandera mediante el aislamiento de una bandera azul en un extremo (y luego se retira). Esto se puede hacer en $\binom{11}{2}$ maneras (en cada lado). Así:

$$\binom{12}{3} \cdot 11 - 2 \cdot \binom{11}{2} = 2310$$

Answer 3

Otro método sería poner un asta de bandera en la parte superior de la otra. Entonces tenemos 10 banderas azules y 9 banderas verdes dispuestas en orden, y hay dos posibilidades:

1) Si las banderas, donde los mástiles cumplir no son tanto verde, tenemos un acuerdo donde no hay 2 banderas verdes son consecutivos; por lo que hay $\binom{11}{9}$ maneras de escoger el 9 de vacíos de las banderas verdes (desde el 11 de brechas creadas por las banderas azules) y, a continuación, 18 opciones para la separación de las banderas para formar los dos mástiles.

2) Si las banderas, donde los mástiles conocer, son ambos de color verde, entonces hay 11 maneras para seleccionar la distancia de estos dos indicadores y $\binom{10}{7}$ maneras de elegir los vacíos de las 7 restantes banderas verdes (a partir de las 10 restantes lagunas).

Por lo tanto, no se $\displaystyle 18\binom{11}{9}+11\binom{10}{7}=11(90+210)=2310$ dichos acuerdos,

y el resto cuando se divide por 1000 es de 310.