Exacto valor del polinomio en trigonométricas argumento

Question

Dado que el $$\cos 8\theta= 128\cos^8 \theta −256\cos^6 \theta +160 \cos^4 \theta −32\cos^2 \theta +1$$

Hallar el valor exacto de:

$$4x^4 −8x^3 +5x^2 −x$$

donde $x=\cos^2 (\frac{\pi}{8})$

Yo:

$$\cos 8\theta= 128\cos^8 \theta −256\cos^6 \theta +160 \cos^4 \theta −32\cos^2 \theta +1$$

$$\cos 8\theta= 32(4\cos^8 \theta -8\cos^6 \theta +5 \cos^4 \theta -\cos^2 \theta) +1$$

$$\frac{\cos 8\theta-1}{32}= 4\cos^8 \theta -8\cos^6 \theta +5 \cos^4 \theta -\cos^2 \theta$$

Deje $x=\cos^2 \theta$ ? (*)

Por lo tanto:

$$\frac{\cos 8\theta-1}{32}= 4x^4 -8x^3 +5x^2 -x$$

$\theta=\frac{\pi}{8}$

$$\frac{\cos \pi -1}{32}= 4x^4 -8x^3 +5x^2 -x$$

Lo que me da : $\frac{-1}{16}$

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No estoy feliz con mi presentación, que está perdiendo algo? Especialmente (*)? Escribí $x=\cos^2 \theta$ cuando ellos han dicho a $x=\cos^2 (\frac{\pi}{8})$

Puede alguien me ayuda prefecto a cabo mi trabajo. Quiero mejorar mi trabajo. Sé que mi resultado es correcto. Pero siempre en mi trabajo no estoy feliz con mis pruebas. Quiero probar y perfeccionar el método en el que he conseguido el resultado.

Answer 1

Su enfoque es correcto, pero probablemente debería decir que te deje $\theta=\frac{\pi}{8}$ antes de introducir $x$. Continuar después de su tercera línea, usted podría escribir algo como esto:

Deje $\theta = \frac{\pi}{8}$, y denotan $x=\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$. Esto le da $$ \frac{\cos\pi-1}{32}=4x^4-8x^3+5x^2-x$$ por lo $4x^4-8x^3+5x^2-x=-\frac{1}{16}$.