La intuición y la Prueba de rango(AB) $\le$ min{rango(A) rango(B)} (sin inversos o mapas) [Poole P217 3.6.59, 60]

Question

Soy consciente de análoga hilos; espero que la mía es lo suficientemente específica como para no ser estimados.

$\mathbf{a^i}$ es un vector fila. $A, B$ son matrices. Probar: $1$. $\mathbf{a^i}B$ es una combinación lineal de las filas de $B$.
$2.$ Fila espacio de $AB \subseteq$ fila espacio de $B$. $\qquad$ $3.$ Columna de espacio de $AB \subseteq$ Columna espacio de $A$.
$4.$ Si $\mathbf{a_i}$ es un vector columna, a continuación, $A\mathbf{a_i}$ es una combinación lineal de las columnas de a $A$.
$5. \operatorname{rank}(A\color{#B8860B}{B}) \color{#B8860B}{\le} \operatorname{rank}\color{#B8860B}{B} \qquad \qquad$ $6.\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank} A$.
En general, $x \leq a \text{ & } x \le b \implies x \le \min\{a, b\}$.
Así que por $5 \, \& \, 6$, $\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank} B\}$.

$\bbox[2px,border:2px solid grey]{\text{ Proof of #5 :}} \;$ El rango de una matriz es la dimensión de su espacio fila. Necesario presentar :
Si $\operatorname{rowsp}(AB) \subseteq\operatorname{rowsp}(B)$, $\operatorname{dim rowspace}(AB) \le \operatorname{dim rowspace}(B). $
Elige una base para $\operatorname{rowsp}(AB)$. Decir que hay un $p$ vectores de esta base.
Por $\#2$, espacio fila de a $AB \subseteq$ fila espacio de $B$, $\color{green}{\text{so all of these $p$ vectors also $\en \operatorname{rowsp}(B)$}}$. Por otra parte, deben ser linealmente independientes (en adelante, apodado l-ind).
${\Large{\color{red}{[}}} \;$ Desde la dimensión de un espacio $=$ el número máximo de l-ind vectores en el espacio, $\; {\Large{{\color{red}{]}}}}$
y $\color{green}{\text{$\operatorname{rowsp}(B)$ has $\ge p$ l-ind vectors}}$, lo $ \operatorname{dim rowspace}(B) \; \ge \; \operatorname{dim rowspace}(AB) = p. $

$\bbox[2px,border:2px solid grey]{\text{ Proof of #6 :}} \;$ Aplican $ \operatorname{rank}M = \operatorname{rank}M^T$$\#5$: $ \operatorname{rango}(AB)^T = \operatorname{rango}(B^T\color{#B8860B}{A^T}) \quad \color{#B8860B}{\le} \quad \operatorname{rango}\color{#B8860B}{A^T} = \operatorname{rango}(A)$.

$Q1.$ Por favor aclarar la anterior prueba de $5$? Estoy desconcertado. ¿Qué es la estrategia?

$Q2.$ En P209, Poole define dimensión como el número de vectores en una base.
Así que no deberías de la red de soporte se refieren a una base? Si es así, ¿por qué no la prueba se limitó a declarar:
Por $2$, la base de la $\operatorname{rowsp}(AB)$ puede ser reutilizado como la base para $\operatorname{rowsp}(B).$ ?

$Q3.$ Cómo había uno previse para invertir $AB$ y se aplican $\#5$ (la clave strategem) #6?

$Q4.$ ¿Cuál es la intuición detrás de los resultados $5$$6$? Yo estaría muy agradecido por las fotos.

Fuentes: P147, 4.48, Schaum del Esquema a Lin de Alg, web.mit.edu/18.06/www/Spring01/Sol-S01-5.ps

Answer 1

Cuando usted tiene dos subespacios $V$$W$$V \subseteq W$,$\text{dim}(V) \le \text{dim}(W)$. La prueba es bastante fácil. Construir una base $B = (v_1, ..., v_n)$$V$. Ahora extender a una base de $W$, de modo que $B' = (v_1, ..., v_n, w_1, ..., w_k)$. Dado que el número de vectores de la base en $B$ es menor o igual que el número de vectores de la base en $B'$,$\text{dim}(V) \le \text{dim}(W)$, por definición de "dimensión" a medida que el número de vectores en una base para el espacio.

Me ha glosado detalles, como el hecho de que usted puede ampliar la base de $V$ a una base de $W$, pero esto es fácil de demostrar o de encontrar en otros lugares. Sugiero Axler, el libro "Álgebra Lineal se Hace bien."