¿Está formulada la Teoría de Cuerdas en un espacio-tiempo plano o curvo?

Question

La Teoría de Cuerdas está formulada en 10 o 11 (¿o 26?) dimensiones donde se asume que todas las dimensiones del espacio excepto las 3 (grandes) dimensiones del espacio y 1 dimensión de tiempo son un conjunto compacto con dimensiones muy pequeñas. La pregunta es qué se supone acerca de la curvatura de las 3 grandes dimensiones espaciales y la 1 dimensión de tiempo. Si se asume que estas dimensiones son planas, ¿cómo puede la Teoría de Cuerdas reproducir las ecuaciones de la Relatividad General que requiere espacio tiempo curvado en presencia de masa-energía (por supuesto, el término fuente real para la Relatividad General es el tensor de energía-impulso)?

Por otro lado, si la Teoría de Cuerdas está formulada en un espacio-tiempo curvado con una métrica desconocida (generalmente representada por $g_{\mu\nu}$), ¿cómo surgen las ecuaciones de la Relatividad General que imponen restricciones sobre $g_{\mu\nu}$ desde la teoría de cuerdas?

Es bien sabido que la Relatividad General requiere una partícula masiva de espín 2 como la partícula de "mediación de fuerza" (similar al fotón como la partícula de mediación de fuerza masiva de espín 1 de la electromagnetismo). También es bien conocido que la Teoría de Cuerdas puede acomodar la presunta partícula masiva de espín 2 como la oscilación de una cuerda cerrada. Pero, ¿cómo se relaciona esta partícula gravitón con la curvatura de las dimensiones grandes del espacio tiempo?

Sé que "¿Cómo predice la Teoría de Cuerdas la Gravedad?" es algo similar a esta pregunta, pero no creo que contenga una respuesta a esta pregunta, así que por favor no la marques como una pregunta duplicada. Apreciaría especialmente una respuesta que pudiera ser comprendida por un físico no teórico ("Teoría de Cuerdas") - espero que la respuesta esté a un nivel más alto que una explicación no matemática popular. En otras palabras, asume que el lector de la respuesta entiende la Relatividad General y la física de partículas, pero no la Teoría de Cuerdas.

Actualización de un comentario para aclarar: Si comienzas con un espacio plano, entonces $g_{\mu\nu}$ no es el tensor métrico ya que se asumió espacio plano. Si comienzas con un espacio arbitrariamente curvado, ¿por qué y cómo podrías demostrar que los componentes del gravitón te dan el tensor métrico? Estoy interesado en el caso de espacio fuertemente curvado ya que ahí es donde la Relatividad General difiere más de la gravedad newtoniana. En un espacio plano podrías considerar débilmente la gravedad newtoniana como el resultado del intercambio de partículas masivas de espín 2. Pero la gravedad fuerte necesita una curvatura espacial real para ser equivalente a la Relatividad General.

Answer 1

La teoría de cuerdas puede considerarse como un marco para calcular amplitudes de dispersión (u otras cantidades físicamente significativas e invariantes de calibre) alrededor de un fondo plano; o cualquier fondo curvado (posiblemente equipado con valores no nulos de otros campos) que resuelva las ecuaciones de movimiento. La curvatura del espacio-tiempo es equivalentemente física a un estado coherente (condensado) de cuerdas cerradas cuyos grados de libertad internos se encuentran en los estados propios del gravitón y cuyos modos cero y polarizaciones describen el perfil detallado $g_{\mu\nu}(X^\alpha)$.

Las ecuaciones de Einstein surgen como ecuaciones para la anulación de las beta-funciones: derivadas de las constantes de acople de la hoja del mundo (continuamente infinitas) $g_{\mu\nu}(X^\alpha)$ con respecto a la escala de renormalización de la hoja del mundo, que se necesita para la simetría conforme de escala de la hoja del mundo (incluyendo las correcciones cuánticas), parte de las restricciones de simetría de calibre de la teoría de la hoja del mundo. De manera equivalente, uno puede darse cuenta de que las cuerdas cerradas son cuantos de un campo y calcular sus interacciones en una acción efectiva a partir de sus amplitudes de dispersión en cualquier fondo fijo. La respuesta es, una vez más, que la acción de baja energía es la acción de la relatividad general; y la simetría de difeomorfismo es realmente exacta. No es una sorpresa que los dos métodos produzcan la misma respuesta; está garantizado por la correspondencia de operador-estado, un hecho matemático sobre las teorías de campo conforme (como la teoría en la hoja de la cuerda).

La relación entre la curvatura del espacio-tiempo y el modo de gravitón de la cuerda cerrada es que el primero es el condensado del segundo. Son lo mismo. Son demostrablemente lo mismo. Agregar excitaciones de cuerdas cerradas a un fondo es la única forma de cambiar la geometría (y curvatura) de este fondo. (Esto es cierto para todas las otras propiedades físicas; todo está hecho de cuerdas en la teoría de cuerdas). Por el contrario, cuando agregamos cuerdas cerradas en el modo de gravitón a un estado del espacio-tiempo, su efecto en otros gravitones y todas las demás partículas es físicamente indistinguible de una modificación de la geometría de fondo. El ajuste del número y el estado de las cuerdas cerradas en el modo de gravitón es la forma correcta y única de cambiar la geometría de fondo. Ver también

http://motls.blogspot.cz/2007/05/why-are-there-gravitons-in-string.html?m=1

Permítanme ser un poco más matemático aquí. La teoría de la hoja del mundo en un fondo general se puede describir por la acción $$ S = \int d^2\sigma\,g_{\mu\nu}(X^\alpha(\sigma)) \partial_\alpha X^\mu(\sigma)\partial^\alpha X^\nu(\sigma) $$ Es una acción modificada de Klein-Gordon para 10 (supercadena) o 26 (teoría de cuerdas bosónicas) campos escalares en 1+1 dimensiones. Las funciones $g_{\mu\nu}(X^\alpha)$ definen la teoría detallada; desempeñan el papel de las constantes de acople. La métrica de la hoja del mundo siempre se puede (localmente) poner en una forma plana, mediante una combinación de las difeomorfismos 2D y escalas de Weyl.

Ahora, las amplitudes de dispersión en la teoría de cuerdas (perturbativa) se calculan como $$ A = \int {\mathcal D} h_{\alpha\beta}\cdots \exp(-S)\prod_{i=1}^n \int d^2\sigma V_i $$ Integramos sobre todas las métricas en la hoja del mundo, agregamos la dependencia habitual de $\exp(-S)$ sobre la acción de la hoja del mundo (euclidianizada, para hacerla matemáticamente conveniente mediante una continuación), e insertamos $n$ "operadores de vértice" $V_i$, integrados sobre la hoja del mundo, que corresponden a los estados externos.

Lo clave para tu pregunta es que el operador de vértice para un gravitón tiene la forma $$V_{\rm gravitón} = \epsilon_{\mu\nu}\partial_\alpha X^\mu (\sigma)\partial^\alpha X^\nu(\sigma)\cdot \exp(ik\cdot X(\sigma)).$$ El exponencial, la onda plana, representa (la base para) la dependencia más general de la función de onda en el espacio-tiempo, $\epsilon$ es el tensor de polarización, y cada uno de los dos factores $\partial_\alpha X^\mu(\sigma)$ surge de una excitación $\alpha_{-1}^\mu$ de la cuerda cerrada (o con una tilde) por encima del estado fundamental taquiónico. (Es similar para la supercadena pero el taquión se elimina del espectro físico.)

Debido a estos dos derivados de $X^\mu$, el operador de vértices tiene la misma forma que la propia Lagrangiana (término cinético) de la hoja del mundo, con una métrica de fondo más general. Por lo tanto, si insertamos este gravitón en un proceso de dispersión (en un estado coherente, de modo que esté exponenciado), tiene exactamente el mismo efecto que si modificamos el integrando cambiando el factor $\exp(-S)$ al modificar las constantes de acoplamiento "métrica de fondo" en las que $S$ depende.

Por lo tanto, la adición de los estados externos de cuerdas cerradas al proceso de dispersión es equivalente a no agregarlos, sino comenzar con un fondo clásico modificado. Ya sea que incluyamos el factor en $\exp(-S)$ o en $\prod V_i$ es una cuestión de contabilidad; es la pregunta de qué parte de los campos se considera fondo y qué parte es una perturbación del fondo. Sin embargo, la dinámica de la teoría de cuerdas es independiente del fondo en este sentido. El espacio total de estados posibles y su evolución son independientes de nuestra elección de fondo. Al agregar perturbaciones, en este caso gravitones físicos, siempre podemos cambiar cualquier fondo permitido a cualquier otro fondo permitido.

Siempre necesitamos algunos operadores de vértice $V_i$, para construir el "espacio de Fock" de los estados posibles con partículas; después de todo, no todos los estados son "coherentes". Sin embargo, podrías tratar de adoptar la actitud extrema opuesta, es decir, mover "todos los factores", incluidos los de $\exp(-S)$, de la parte de la acción a los operadores de vértice. Tal formulación de la teoría de cuerdas no tendría fondo clásico, solo las interacciones de cuerdas. Es algo singular pero es posible formular la teoría de cuerdas de esta manera, al menos en la teoría cúbica de campo de cuerdas (para cuerdas abiertas). Se llama la "formulación independiente del fondo de la teoría de campo de cuerdas": en lugar de la acción cuadrática y cúbica general $\int\Psi*Q\Psi+\Psi*\Psi*\Psi$, podemos tomar la acción de la teoría de campo de cuerdas como solo $\int\Psi*\Psi*\Psi$ y el término cuadrático (con todos los términos cinéticos que conocen la geometría del espacio-tiempo de fondo) puede generarse si el campo de cuerdas $\Psi$ tiene un condensado de vacío. Bueno, es un poco singular, una excitación del "campo de identidad de cuerdas", pero al menos formalmente, es posible: todo el espacio-tiempo puede generarse puramente a partir de las interacciones de cuerdas (el término cúbico), sin una geometría de fondo con la que empezar.

Answer 2

Primero una subpregunta: Si el espacio-tiempo de Einstein "surge como ecuaciones para la desaparición de las funciones beta - derivadas de las constantes de acoplamiento de la lámina mundial gμν(Xα) con respecto a la escala de renormalización de la lámina mundial - que es necesaria para la simetría conformal de escala de la lámina mundial (incluyendo las correcciones cuánticas), como parte de las restricciones de simetría de calibración de la teoría de la lámina mundial", entonces ¿cómo se llega a varias formas cerradas para el universo?

Segundo, mi respuesta: Es bastante fácil producir un campo gravitacional local exacto como un espacio-tiempo curvado emergente en un fondo plano. Solo toma una página o dos. Ver https://link.springer.com/article/10.1140/epjp/i2018-11983-2. Sin embargo, esto, como en mi subpregunta anterior, deja algo que desear en la formación de espacios-tiempos cosmológicos cerrados.