Deje $A$ $B$ ambos $n\times n$ complejo de Hermitian positivo semidefinite matrices, entonces si $\mathrm{trace}(AB)=0$ implica $AB=0$? Al $A$ $B$ son reales Hermitian positivo semidefinite matrices, esto es cierto, es cierto para el caso complejo?
Respuestas
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Por supuesto, existen dos matrices $C,D$ sucht que $$ A=C^*C\quad\mbox{y}\quad B=DD^*. $$ Ahora, usando la conmutatividad de la traza, $$ \mbox{Tr}(AB)=\mbox{Tr}(C^*CDD^*)=\mbox{Tr}(D^*C^*CD)=\mbox{Tr}((CD)^*CD) $$ parece ser la suma de la de todos los $|(CD)_{i,j}|^2$.
Así $$ \mbox{Tr}(AB)=0\quad\Rightarrow \quad CD=0\quad \Rightarrow\quad AB=C^*CDD^*=0. $$
Nota: esta prueba no funciona en el caso complejo, como en el caso real.
Chris Ballance
Puntos
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Sí, es cierto en el caso complejo. Como toda matriz hermitiana es unitarily diagonalizable, WLOG podemos suponer que $A=D\oplus 0$ donde $D$ es una matriz diagonal positiva. Sea $B=\begin{pmatrix}U&W^\ast \\W&V\end{pmatrix}$ . Desde $B$ es semidefinida positiva, también lo son $U,V$ y, por tanto, la diagonal de $U$ no es negativo. Por lo tanto $\operatorname{trace}(AB)=0$ implica que $U$ tiene una diagonal cero, $\operatorname{trace}(U)=0$ y a su vez todos los valores propios de $U$ son cero. Por lo tanto $U=0$ . Pero entonces $W$ debe ser cero, de lo contrario $B$ no puede ser semidefinida positiva. Por lo tanto $B=0\oplus V$ y $AB=0$ .
