Si $\mu$ es una firma de medida finita, a continuación, $\|\mu\| = \sup \left\{ \int f d\mu : |f| \leq 1 \right\} $

Question

Si $\mu$ es una firma de medida finita, entonces

$$ \|\mu\| = \sup \left\{ \int f d\mu : |f| \leq 1 \right\} $$

Hice la desigualdad "$\geq$". Alguien ayudar con la otra desigualdad "$\leq$"?

Answer 1

Por Hahn teorema de descomposición, existen dos conjuntos medibles $P,N$ tal que $P\cup N=X$$P\cap N=\emptyset$, e $\mu(A\cap P)\geq 0$ mientras $\mu(A\cap N)\leq 0$ para todos los conjuntos medibles $A$.

Ahora vamos a $$ f=1_P-1_N. $$

Tenemos $$ \int_Xfd\mu=\mu(P)-\mu(N)=|\mu|(X). $$

Así que para revertir la desigualdad de la siguiente manera.