El radio de convergencia y de los extremos de una potencia de la serie

Question

Encontrar el radio de convergencia y la convergencia en los puntos extremos de la serie:

$$\sum_{n=1}^\infty(2+(-1)^n)^nx^n$$

Esto es lo que hice:

$a_n=(2+(-1)^n)^n\Rightarrow R=\frac{1}{limsup|a_n|^\frac1n}\\ para\ n=2k \lim(2+1)=3 \\ para\ n= 2k+1 \lim(2-1)=1 \\ limsup \ a_n^{\frac1n}=3 \Rightarrow R=\frac13$

Así que la serie converge en $(-\frac13 , \frac13)$

Pero ahora yo no entiendo realmente lo que me pidió para los puntos finales. Se supone que tengo que comprobar si la serie realmente convergen en los dos puntos finales ?

Answer 1

El análisis para el radio de convergencia es bueno. Para comprobar la convergencia/divergencia en $x=\pm\frac13$, pregunte si los términos ir a $0$$n\to\infty$.

Answer 2

Me gustaría dividir la suma de dos series, una con, incluso, $n$'s y uno con extraña $n$'s. Uno es geométrica con razón común $x^2$. El otro es geométrica con razón común $9x^2$. Ambos deben converger (ya que el poder de la serie son positivos positivos $x$), de manera que al aplicar el test del Cociente de la suma de los $(9x^2)^{n}$'s le da un radio de convergencia de $1/3$ y un radio de convergencia de $1$. para la suma de los $x^{2n-1}$'s. Compruebe si la serie converge para $x = \pm 1/3$ directa substiution en la serie.

Answer 3

Para el caso de la demarcación de los puntos de verificación del teorema de Abel.