¿Calcular el mapa "inducidas" por el producto exterior?

Question

Tengo un examen vienen (para la topología diferencial) y mi profesor dice que el examen va a ser principalmente la computación orientada (en particular énfasis en $\mathbb{R}^3$). He probado algunos resultados de la teoría acerca de los tensores en Guillemen y Pollack y pero no estoy muy confiado en computación. Yo creo que él dijo que debemos ser capaces de "calcular" el mapa "inducida" por el exterior del producto. Para (esperemos) ser más preciso que él había puesto en el consejo, dada una matriz:

$$A : V \to V$$

calcular el correspondiente:

$$\wedge^kA : \wedge^k V \to \wedge^k V$$

Este fue mi mejor conjetura en un directo en el cálculo, pero no estoy seguro de si lo estoy haciendo correctamente:

Por ejemplo, digamos que tenemos la matriz:

\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}

Este es un mapa de $R^3 \to R^3$. Ahora quiero calcular para calcular:

$$\wedge^2 A : \wedge^2 R^3 \to \wedge^2R^3$$

Yo elija, a continuación, elija una ordenó la base para:

$$ \{ e^1\wedge e^2, e^1 \wedge e^3, e^2 \wedge e^3 \} $$

(Supongo que el orden puede cambiar, pero supongo que se daría en una pregunta?)

Luego me aplique $A^*$ a cada una de las bases para obtener una representación.

$$A^*e^1\wedge e^2$$ $$A^*e^1\wedge e^3$$ $$A^*e^2\wedge e^3$$

Esto se convierte en:

$$Ae^1\wedge Ae^2$$ $$Ae^1\wedge Ae^3$$ $$Ae^2\wedge Ae^3$$

Esto implica entonces:

$$ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \wedge \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$ $$ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \wedge \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ $$ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \wedge \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

En el caso de que la dimensión es igual, creo que la cuña debe ser sólo el producto escalar, y que esta se reduzca a los números $5$, $6$, y $1$. Entonces esto se convierte en:

$$\wedge^2 A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 1 \end{bmatrix}$$

Es esto correcto? ¿Es esta la forma de calcular el "mapa" inducida por el exterior del producto de una matriz? (Lo siento si esto ha sido contestado, he tenido problemas para encontrar el hormigón cálculos de exterior álgebras...)

Answer 1

Nos deja denotar por $(e_1,e_2,e_3)$ el estándar de la base de $\mathbb{R}^3$. El espacio de $\Lambda^2(\mathbb{R}^3)$ es una de tres dimensiones de espacio vectorial y $\Lambda^2(A) \colon \Lambda^2(\mathbb{R}^3) \rightarrow \Lambda^2(\mathbb{R}^3)$ es lineal en el mapa por lo que debe ser representado por un $3 \times 3$ matriz con respecto a algunas de elección de la base de $\Lambda^2(\mathbb{R}^3)$. Elijamos a la base $\mathcal{B} = (e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3)$. La orden de cuestiones de hecho y si iba a reordenar nuestra base, nos gustaría obtener una matriz (tendría las mismas columnas, pero en diferente orden). Para encontrar $[\Lambda^2(A)]_{\mathcal{B}}$, tenemos que calcular el $\Lambda^2(A)(e_1 \wedge e_2), \Lambda^2(A)(e_1 \wedge e_3), \Lambda^2(A)(e_2 \wedge e_3)$ y expresar el resultado en términos de la base $\mathcal{B}$.

Por ejemplo,

\begin{align*} \Lambda^2(A)(e_1 \wedge e_2) &= (Ae_1 \wedge Ae_2) = (3e_1 + e_2 + 2e_3) \wedge (e_1 + e_3) \\ &= 3 (e_1 \wedge e_1) + 3 (e_1 \wedge e_3) + e_2 \wedge e_1 + e_2 \wedge e_3 + 2(e_3 \wedge e_1) + 2(e_3 \wedge e_3) \\ &=3(e_1 \wedge e_3) + e_2 \wedge e_1 + e_2 \wedge e_3 + 2(e_3 \wedge e_1) \\&= (-1)(e_1 \wedge e_2) + 3(e_1 \wedge e_3) - 2(e_1 \wedge e_3) + e_2 \wedge e_3 \\&= (-1) \cdot (e_1 \wedge e_2) + 1 \cdot (e_1 \wedge e_3) + 1 \cdot (e_2 \wedge e_3) \end{align*}

Por lo tanto, la matriz de $[\Lambda^2(A)]_{\mathcal{B}}$ le parezca

$$ [\Lambda^2(A)]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -1 & ? & ? \\ 1 & ? & ? \\ 1 & ? & ? \end{pmatrix}. $$

Las otras dos columnas se obtiene mediante el cálculo de $\Lambda^2(A)(e_1 \wedge e_3)$ $\Lambda^2(A)(e_2 \wedge e_3)$ igualmente. Tenga en cuenta que he utilizado las propiedades de la cuña de producto para cancelar los términos y reordenar (la introducción de un signo menos) en el fin de expresar $\Lambda^2(A)(e_1 \wedge e_2)$ en términos de la base de los elementos.