¿Por qué se define Alexander – Spanier cohomología?

Question

Creo que puede motivar a las definiciones de simplicial, singular, de Rham, Čech, y gavilla (co)homología, más o menos.

• Yo podría entender bordism, y empezar tratando de entender submanifolds, a continuación, darse cuenta de que esto es realmente difícil de hacer y tratar, en lugar de manejar una aproximación combinatoria. Entonces yo podría definir homología simplicial.

• Después de tratar con homología simplicial de un par de décadas, me podría cansar de mi confinamiento a la simplicial, pero que sin embargo pueden querer razón combinatoria sobre simplices, y yo podría entonces definir la singular simplices functor y la preocupación acerca de la homología singular.

• Motivados por el teorema de Stokes y de la dualidad de Poincaré, que yo podría tener la idea de que Grassmann diferencial de las formas podría ser considerado como doble para suavizar submanifolds en algún sentido, y yo podría definir de Rham cohomology en los colectores.

• Una vez que yo sabía acerca de Mayer–Vietoris secuencia y que había empezado a hacerse una idea de lo local–global de las relaciones en la (co)homología de las teorías, y, en particular, sabía de Poincaré del lexema, yo podría decidir que era una buena idea para tratar y de entender la (co)homología en términos de la combinatoria de una cubierta de contráctiles abrir sets, y eventualmente podría simplemente definir cohomology directo como límite de un conjunto de estructuras algebraicas derivados de las cubiertas. Esto también tendría beneficio de suavizar las irregularidades en mi espacio de los objetos.

• El pensamiento acerca de las propiedades del complejo de de Rham en términos de soportes de formas diferenciales y sigue manteniendo el Poincaré lema en mente, yo también podría definir multa de poleas y en última instancia cohomology con coeficientes en una gavilla, si, por ejemplo, que fueron excepcionalmente creativo y tratando de no mirar como un analista, mientras encarcelado por los Nazis en un campo de prisioneros.

Por otro lado, he mirado en Dieudonné la historia y los papeles originales de Alexander y Spanier, pero yo todavía no tienen una idea real de lo que sería una inspiración para mí, para definir Alexander–Spanier cohomology. ¿Alguien tiene alguna visión?

P. S. [7 Dic.]: Massey tiene una cuenta en su ensayo "Una historia de cohomology teoría" de la colección Historia de la Topología (ed. Ioan James). En la p. 567, afirma

No es difícil ver por qué a Whitney y a los demás participantes en la conferencia de Moscú debe haber sido mistificado cuando Kolmogoroff y Alexander escribió sus definiciones de un producto de cochains. Estas definiciones fueron puro ad hoc fórmulas, no presentó la motivación. Es difícil adivinar cómo Alexander y Kolmogoroff llegó a ellos. Debe haber parecido la numerología o la magia.

He aprendido de Massey en la cuenta de que Alexander(–Kolmogorov!)–Spanier cohomology probablemente estaba destinado a ser doble para Vietoris homología , pero no exactamente cómo esta dualidad funcionaba. Vietoris homología fue definida inicialmente, como yo lo entiendo, en compacto métrica espacios, con simplices de conjuntos ordenados de puntos dentro de un $\epsilon$-barrio, y $\epsilon$ tomado a cero, con ciclos de secuencias de ciclos modulo eventual límites. Mientras que este enfoque de cero es una reminiscencia de modding a cabo las funciones de fuga en un barrio de la diagonal, que todavía no sabemos su motivación para hacerlo.

Answer 1

Yo no soy un experto, la siguiente es sólo conjeturas -- me encontró de manera similar los papeles originales unenlightening wrt su motivación.

Como usted dijo, el misterio radica principalmente en la motivación de las paso adicional: modding a cabo las funciones de $X^{k+1} \to R$ por el subcomplejo de las funciones que desaparecen en el barrio de la diagonal.

En primer lugar, vamos a justificar mirando a los barrios de un espacio. Sabemos de Alejandro de la dualidad de la filosofía de mirar la tirantez de un subespacio $U$ con respecto a un espacio de $Y$.

Nos fijamos en el vecindario $N$ $U$ en Y (por el barrio, nos referimos a un subconjunto $N$ $Y$ que contiene $U$ en su interior). La intersección de dos barrios de $U$ $Y$ será otro barrio de $U$$Y$, por lo que esto nos da un sistema de grupos de $\{H^q(N)\}$ donde $N$ rangos de todos los barrios de $U$$Y$.

Para cada una de las $N$, esto nos da una inclusión $U \in N$, lo que induce un homomorphism $H^q(N) \to H^q(U)$. El subespacio $U$ se dice que es "empujado incrustado" en $Y$ si se trata de un isomorfismo para todos los $q$$N$, y todos coeficiente de grupos. Siendo tensa implica que $U$ es compacto y $Y$ es de Hausdorff.

Esto nos da una pista: estamos probablemente modding a cabo por este subcomplejo a fin de tratar con la falta de compacto de Hausdorff espacios.

Segundo, vamos a justificar mirando a la diagonal. La diagonal de la incrustación de $X \xrightarrow{\Delta} X \times X$, es simplemente una forma canónica para insertar un espacio X en un espacio ambiente dotado de la topología producto, $\Delta X := \{(x,x) \in X \times X\}$. Es útil cuando se quiere mirar en el barrio de un espacio de $X$ (por ejemplo, en los gérmenes de funciones en $X$), pero $X$ se encuentra en ningún espacio ambiente. La palabra, "diagonal de la incrustación," viene del ejemplo de la incorporación de la $R^1 \hookrightarrow R^2$ de los que tomaron $x \mapsto (x,x)$, es decir, tomando la línea de $R^1$ e incrustación de objetos en $R^2$ como la línea de $y=x$.

Con esto en mente, volvamos nuestra mirada a Alexander-Spanier cochains.

Aquí está mi ingenua suposición: modding a cabo las funciones que desaparecer en cualquier barrio de $X$, $N(X)$, artifically fuerzas de $X$ para satisfacer la condición de que $$H^q(\text{functions which disappear on }N(X)) \simeq H^q(\text{functions which disappear on }X)$$ for all $N$, all $p$, and all coefficient groups. Perhaps modding out by the subcomplex lets us "falsely" satisfy that $X$ is tautly embedded in $X \times X$, so that we may treat $X$ como si se tratara de un espacio compacto.

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A continuación algunos comentarios adicionales hacia qué alguien podría haber pensado de modding a cabo por la particular subcomplejo.

El establecimiento de la notación: $X^{p+1}$ es (p+1)-veces producto de X por sí mismo, que es, para $x_i \in X$, $(x_1, ..., x_{p+1}) \in X^{p+1}$.

$f^p(X) := \{$ funciones $X^{p+1} \to \mathbb{Z} \}$, con complemento funcional como el grupo de operación.

$f^p_0(X) :=$ elementos de $f^p(X)$ que son cero en el barrio de la diagonal $\Delta X^{p+1}$

1. Si examinamos las funciones definidas pointwise en $X$, es natural mirar a $X$-incrustado en un espacio ambiente, más que el espacio de $X$ sí. Es decir, $N(X)$ es el hogar natural de el jet paquete de $X$.

2. Las funciones que desaparecen en $N(X)$ formar un grupo. Si $f$ $f'$ son ambos cero en $N(X)$ $f-f'$ es cero en $N(X)$.

3. No estoy seguro de si la siguiente es útil, ni cómo encaja en la historia, pero pensé que me gustaría mencionar.

El hogar natural de la jet paquetes (más de un espacio de $X$) está por arriba de la diagonal de X. a partir De la lectura de este documento, parece que Grothendieck trajo a la palestra el kth barrio de la diagonal de un colector $X$ cuando fue trasladar las nociones de la geometría diferencial a la geometría algebraica (esto fue portado de nuevo en la geometría diferencial por Spencer, Kumpera, y Malgrange). Usaremos la notación estándar $\Delta X \subseteq X_{(k)} \subseteq X \times X$. Los únicos puntos de $X_{(k)}$ son de la diagonal puntos de $(x, x)$, pero, podemos equipar a nuestro espacio de $X_{(k)}$, con una estructura de sheaf de funciones, y el tratamiento de $X_{(k)}$ si es de "k-vecino puntos" (x,y), donde x e y son los puntos más cercanos el uno al otro, lo que Weil llamados "puntos de proches").

La imagen de $X_{(1)}$, imaginamos $X$ con un infinitesimal normal paquete, para $X_{(2)}$, un infinitesimal paquete que es ligeramente más grande de la segunda derivados (como necesitamos más información para tomar la 2ª derivada), y así sucesivamente.

Si pensamos en una función de $\omega: X_{(k)} \to R$ que se desvanece en $X \subseteq X_{(k)}$ como un "diferencial k-formulario", tal vez:

• las funciones que se desvanecen a la primera orden puede ser pensado como formas cerradas, $d\omega = 0$,
• las funciones que se desvanecen a la de segundo orden en la diagonal $X \subseteq X_{(k+1)}$ pueden considerarse como las formas exactas para satisfacer $\omega = d\beta$, s.t. $d(\omega) = d(d\beta) = 0$.