Estrategias para adivinar las opciones de las preguntas de opción múltiple

Question

Las preguntas de opción múltiple (MCQ) son comunes en los exámenes aquí en Singapur. Un conjunto de, por ejemplo, $40$ Las preguntas se entregan a los estudiantes, y cada una va acompañada de una lista de $4$ opciones de respuesta, $A, B, C$ o $D$ .

Supongamos que un alumno no ha estudiado para un determinado examen. Por desesperación, decide "adivinar" una opción para cada pregunta para asegurarse al menos algunos puntos. Considera dos posibles estrategias:

1. Para cada pregunta, elige una opción al azar como respuesta.
2. Elige una opción al azar, digamos, $B$ y lo utiliza para toda su respuesta.

Suponiendo que las respuestas correctas se distribuyen de forma aleatoria y que su respuesta es completamente aleatoria, ¿qué estrategia daría una mayor probabilidad de obtener más respuestas correctas que la otra?

Intuitivamente, la segunda estrategia daría una mayor probabilidad de obtener más puntuación. Sin embargo, no soy capaz de aportar una prueba (o refutación) matemática.

Para la segunda estrategia, sólo tenemos que considerar la probabilidad de que la respuesta correcta sea la opción elegida. Bajo el supuesto de que las respuestas correctas se distribuyen aleatoriamente, la probabilidad de que una determinada opción sea la respuesta correcta es $\frac{1}{4}$ . Por lo tanto, el estudiante obtendría aproximadamente $25\%$ de sus aciertos.

Sin embargo, también podemos utilizar el mismo argumento para la primera estrategia para decir que el estudiante también obtendría aproximadamente $25\%$ de sus aciertos. Esto implicaría que ambas estrategias son igualmente eficaces, pero estoy bastante seguro de que la segunda estrategia es más eficaz.

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EDIT: Para evitar que los factores psicológicos distorsionen la realidad, decidí escribir un programa (en C#) que simule los mencionados exámenes MCQ. Configuré el programa para simular la toma de $1000$ pruebas MCQ generadas aleatoriamente con $40$ preguntas cada una utilizando ambas estrategias.

Resulta que las puntuaciones porcentuales de ambos tienen la misma media ( $\approx25\%$ ) y la misma desviación estándar ( $\approx 6.84$ ¡)!

Código:

static Random rng = new Random((int)DateTime.Now.Ticks);

static void GenerateAnswers(int[] answers)
{
    for (int i = 0; i < answers.Length; i++)
    {
        answers[i] = rng.Next(4);
    }
}

static int Strategy1(int[] answers)
{
    int score = 0;
    foreach (int answer in answers)
    {
        if (rng.Next(4) == answer)
        {
            score++;
        }
    }
    return score;
}

static int Strategy2(int[] answers)
{
    int choice = rng.Next(4);
    return answers.Count(x => x == choice);
}

Answer 1

Ambas darán la misma probabilidad de obtener puntuación. (Ambos le darán una puntuación esperada del 25%).

Lo más importante es que cada pregunta es independiente de otro. Esto significa que si la respuesta a la primera pregunta es B, entonces no hace que la respuesta a la segunda pregunta sea más probable que sea B (o cualquier otra opción, para el caso).

Así, puede considerar cada pregunta por separado La probabilidad de acertar el 25% de la primera pregunta no afecta al 25% de probabilidad de acertar la segunda pregunta, así que lo que elijas para la primera pregunta no va a hacer que una determinada respuesta para la siguiente sea más correcta que otra.

Nota: Sin embargo, puede entrar en juego la psicología de los examinadores, que sin saberlo evitan tener respuestas consecutivas que sean ambas C, u otros sesgos, y esto puede afectar a la probabilidad resultante.

Answer 2

La probabilidad teórica para ambas estrategias es la misma. Si en tu experiencia encuentras que una estrategia funciona mejor que la otra, estás hablando de probabilidad empírica. La tirada de dados es probablemente el ejemplo clásico. La probabilidad teórica de que salga un 6 en una tirada es $\frac{1}{6}$ . Sin embargo, si se tira un dado 6 veces y se obtienen 2 seises, se puede concluir que la probabilidad empírica es $\frac{2}{6}$ que es similar a tu conclusión de que una estrategia parece funcionar mejor según tu experiencia.

Answer 3

Las preguntas de opción múltiple (MCQ) son comunes en los exámenes aquí en Singapur. Un conjunto de, por ejemplo, $40$ Las preguntas se entregan a los estudiantes, y cada una va acompañada de una lista de $4$ opciones de respuesta, $A, B, C$ o $D$ .

Supongamos que un alumno no ha estudiado para un determinado examen. Desesperado, decide "adivinar" una opción para cada pregunta para asegurarse al menos algunos puntos. Considera dos posibles estrategias:

1. Para cada pregunta, elige una opción al azar como respuesta.
2. Elige una opción al azar, digamos, $B$ y lo utiliza para toda su respuesta.

Suponiendo que las respuestas correctas se distribuyen de forma aleatoria y que su respuesta es completamente aleatoria, ¿qué estrategia daría una mayor probabilidad de obtener más respuestas correctas que la otra?

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La variable aquí es el número de respuestas correctas, es decir, que sea $X$ .

1) $$\rm E[X]=\sum_{k=0}^{40} P(X=k)k=\sum_{k=0}^{40}\binom{40}k\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{40-k}k=10$$ Esto es $25\%$ . Ahora la desviación estándar es: $$\rm \sigma[X]=\sqrt{\sum_{k=0}^{40}(k-10)^2\binom{40}k\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{40-k}}=\sqrt{\frac{15}2}\approx2.73861$$

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2) $$\rm E[X]=\sum_{k=0}^{40} P(X=k)k=\sum_{k=0}^{40}\binom{40}k\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{40-k}k=10$$ Esto es $25\%$ . Ahora la desviación estándar es: $$\rm \sigma[X]=\sqrt{\sum_{k=0}^{40}(k-10)^2\binom{40}k\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{40-k}}=\sqrt{\frac{15}2}\approx2.73861$$

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Lo siento, ¿pero sabes por qué lo hice? Porque $\rm P(X=k)$ es constante para ambos debido a la interindependencia de las preguntas.Yo diría además que cualquier estrategia que usted dispositivo obtendría los mismos resultados. No puedo demostrarlo, pero puedes llamarlo mi intuición. Creo que me gusta publicar esta teoría de los resultados independientes. :D

Answer 4

Supongamos que cuatro estudiantes no preparados se presentan al examen, digamos $W,X,Y,Z$ . Deciden que $Z$ siempre adivinará $A$ , $Y$ siempre adivinará $B$ , $X$ siempre adivinará $C$ y $W$ siempre adivinará $D$ .

En cualquier prueba, es poco probable que los cuatro estudiantes obtengan la misma puntuación. Al azar, uno de ellos, digamos $Y$ puede obtener algo más del 25%, mientras que otro, digamos $W$ , obtendrá algo menos del 25%. Después $Y$ irán a math.stackexchange con la intuición de que siempre se recoge $B$ es la estrategia ganadora, porque conduce a buenos resultados. Pero también $W$ irá a math.stackexchange con la intuición de que escoger al azar es una mejor estrategia, porque siempre escoger $D$ conduce a malos resultados.

OP es $Y$ .