Derivado del radón-Nikodym puede depender de la $\sigma$-álgebra

Question

Supongamos $X$ es un conjunto y $\mathcal{E} \subset \mathcal{F}$ dos $\sigma$-álgebras de subconjuntos de a $X$. Deje $\mu,\nu$ dos finito medidas positivas en $(X,\mathcal{F})$ y supongamos $\nu \ll \mu$. Deje $\bar{\mu}$ ser la restricción de $\mu$ $(X,\mathcal{E})$ $\bar{\nu}$la restricción de $\nu$$\mathcal{E}$. Encontrar un ejemplo de la anterior marco donde $\frac{d\bar{\nu}}{d\bar{\mu}} \ne \frac{d\nu}{d\mu}$, yo.e, donde el Radon-Nikodym derivado de la $\bar{\nu}$ con respecto al $\bar{\mu}(\text{in terms of $\mathcal{E}$)} $ no es el mismo que el Radon-Nikodym derivado de la $\nu$ con respecto al $\mu$ (en términos de $\mathcal{F}$).

Para esto tomé $X=\{0,1,2,3\},\mathcal{E}=\{\{0,1\},X,\phi,\{3,4\}\}, \mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$. Elegí $\mu$, ya que el recuento de la medida y de $\nu(E)=\mu(E \cap\{1\})$. A continuación,$\nu \ll \mu$. A continuación, $\frac{d\nu}{d\mu}=\chi_{\{1\}}$ donde $\frac{d\bar{\nu}}{d\bar{\mu}}=\chi_{\{0,1\}}$.

Es esta bien? Me preguntaba si hay ejemplos que mirar un poco más bello.

Gracias por la ayuda!!

Answer 1

Deje $(X,\mathcal{F},m)$ ser un número finito de medir el espacio. Deje $\mathcal{G}$ $\sigma$- álgebra en $X$$\mathcal{F}$. Deje $f \in L^1((X,\mathcal{F},\mu))$ e introducir el general (firmado) medida $\mu(A)=\int_A f dm$. Definir $\overline{\mu}$ $\overline{m}$ a las restricciones a $\mathcal{G}$ $\mu$ $m$ respectivamente.

Deje $g=\frac{d \overline{\mu}}{d \overline{m}}$. Tenemos $\frac{d \mu}{dm}=f$ y, en general,$g \neq f$. La razón es que el $g$ es, por definición, $\mathcal{G}$- medible (de lo contrario no tiene sentido integrar con respecto a $\overline{m}$). Si $f$ no lo está, entonces, las dos no pueden ser el mismo. En este caso, $g$ es el mejor $\mathcal{G}$medible de aproximación a $f$, en un cierto sentido.

Esta construcción se origina en la teoría de la probabilidad. En probabilidad medible funciones son llamadas variables aleatorias, y nosotros decimos que la variable aleatoria $g$ es la esperanza condicional de la variable aleatoria $f$ con respecto al $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}$. En el caso de $\mathcal{G}=\{ X,\emptyset \}$, esto es en realidad el ordinario de la expectativa (con la que usted probablemente está familiarizado aún sin estudiar medida de la teoría de la teoría de la probabilidad). Radon-Nikodym es una manera de demostrar que un $g$ con las propiedades deseadas existe y es único a un conjunto null. Otra es introducir a $f_n \in L^2$ tal que $f_n \to f$$L^1$, y tome $g$ $L^1$- límite de la $L^2$-proyecciones de la $f_n$ en el espacio de $\mathcal{G}$medible de funciones. Cf. La aproximación de la esperanza condicional