¿Por qué $f\colon \mathbb{Z}_n^\times \to \mathbb{Z}_m^\times$ es sobreyectiva?

Question

Si $m|n$. ¿Por qué el mapa de $f\colon \mathbb{Z}_n^\times \to \mathbb{Z}_m^\times$ $a \mod{n}\mapsto a \mod m$ es un surjective homomorphism de grupos?

Intento: me ha demostrado que es también un bien definidos homomorphism porque la proyección canónica $\overline{f}\colon \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_m$ es un surjective anillo homomorphism, se extiende $f$ y los mapas de unidades de unidades.

Pero no puedo probar surjectiveness. Dado $a\in\mathbb{Z}$ tal que $(a,m)=1$ estoy buscando un $k\in\mathbb{Z}$ tal que $(a+k\cdot m,n)=1$. No sé por qué uno de los $n/m$ candidatos para dichas $k$ hace que el número de $a+k\cdot m$ una unidad de modulo $n$.

Answer 1

Cuando $n$ es una potencia de un primo, es fácil.

En el caso general, use el Teorema chino del resto.

Answer 2

Que $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ y $m=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k}$, $\alpha_i\geq \beta _i$. Entonces $$\Bbb Z_n^\times =\prod^{k}_{i=1} \Bbb Z_{p_i^{\alpha_i}}^\times\text{ and }\Bbb Z_m^\times = \prod^{k}_{i=1} \Bbb Z_{p_i^{\beta_i}}^\times$ $

La suprayectividad de $\Bbb Z_m^\times \to \Bbb Z_n^\times$ deduce la suprayectividad de $\Bbb Z^\times_{p_i^{\alpha_i}}\to\Bbb Z^\times_{p_i^{\beta_i}}$.

Answer 3

No sé una respuesta primaria, pero es cierto que cualquier anillo surjection $f : R \to S$ $R$ Dónde está un anillo finito, induce un homomorfismo de grupo sobreyectiva $f^\times : R^\times \to S^\times$. Para una prueba, vea mi respuesta en MO (que tiene una prueba muy corta de una declaración más general, usando solamente el Teorema chino del resto).