Si $\displaystyle a,b,c\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\;,$ Entonces demuestre que $\displaystyle \frac{\sin (a+b+c)}{\sin a+\sin b+\sin c}<1$
$\bf{My\; Try::}$ Utilizando $$\sin(a+\underbrace{b+c}) = \sin a\cdot \cos (b+c)+\cos a\cdot \sin (b+c)$$
$$ = \sin a\cdot (\cos b\cos c-\sin b\sin c)+\cos a(\sin b\cos c+\cos b\sin c)$$
$$ = \sin a\cos b\cos c-\sin a\sin b\sin c+\cos a \sin b\cos c+\cos a\cos b\sin c$$
Ahora cómo puedo resolverlo después de eso, se requiere ayuda, Gracias
Gracias kotomord, En $\displaystyle x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right),$ Aquí $\sin (a+b) = \sin a\cos b +\cos a \sin b>\sin a+\sin b,$ Pero no entendí cómo la primera línea es verdadera para $x\in (0,\pi)$ tampoco entendió la segunda línea.
Hay un error en la primera línea de su solución. La desigualdad debe ser invertida, es decir, sin(a) + sin(b) > sin(a+b).
Utilizando $$\sin (a+b+c)-\sin a-\sin b-\sin c $$
$$= 2\cos\left(\frac{2a+b+c}{2}\right)\sin \left(\frac{b+c}{2}\right)-2\sin \left(\frac{b+c}{2}\right)\cos \left(\frac{b-c}{2}\right)$$
Así que $$ = 2\sin \left(\frac{b+c}{2}\right)\left[\cos \left( \frac{2a+b+c}{2}\right)-\cos \left(\frac{b-c}{2}\right)\right]$$
$$ = -4\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\sin \left(\frac{b+c}{2}\right)\sin \left(\frac{a+c}{2}\right)<0,$$
Bcz dado $\displaystyle a,b,c \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ . Así que obtenemos $\displaystyle \frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2}\;,\frac{c+a}{2}\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
Así que obtenemos $$\sin (a+b+c)<\sin a+\sin b+\sin c\Rightarrow \frac{\sin (a+b+c)}{\sin a+\sin b+\sin c}<1$$
Dejemos que $\sin (a)=x,\sin (b)=y,\sin (c)=z $ Así, continuando con su versión simplificada, tenemos $$\frac {\sum ^{cyc} x\sqrt {(1-y^2)(1-z^2)}}{x+y+z}$$ entonces usando Am-Gm para cada raíz cuadrada tenemos $$\frac {\sum^{cyc} x\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)}}{x+y+z }\leq \frac {2 (x+y+z)-2 (xy+yz+xz)}{2 (x+y+z)} $$ por lo que su $1-\bf{something} $ podemos ver fácilmente que el segundo paréntesis tiene un valor máximo $1$
pero en el problema como $90^{0}$ no está en el dominio por lo que siempre es menor que $1$
Por lo tanto, la expresión original es menor que $1$
A Archis Welankar no le entendí cómo puede aplicar $\bf{A.M\geq G,M}$ La desigualdad en $\displaystyle \frac {\sum ^{cyc} x\sqrt {(1-y^2)(1-z^2)}}{x+y+z}$
No básicamente han aplicado como $\sqrt {(1-y^2)(1-z^2)} \leq $ \frac {2-(y+z)}{2} $ de manera similar para los otros dos términos y luego continuó
Buena solución Archis Welankar, puede que te refieras a $\displaystyle \sum ^{\cyc}x\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)}<\sum ^{\cyc}x,$ bcz $\displaystyle x,y,z \in \left(0,1\right)$
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