¿Es posible intercambiar las intersecciones y uniones contables?

Question

Supongamos que hay un no vacío ocupa $A_n^i$ que sea indexado en $\omega$, los números naturales. ¿Puedo decir que es lo siguiente cierto?

$$\bigcup_{i \in \omega} \left\{\bigcap_{n\in \omega} A_n^i\right\} = \bigcap_{n\in \omega}\left\{ \bigcup_{i \in \omega} A_n^i\right\}$$

¿Alguien puede darme alguna idea de si, ni no poder intercambiar la Unión y la intersección?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$x\in\bigcup_{i\in\omega}\bigcap_{n\in\omega}A_n^i$$

iff $\exists i\in\omega\,\forall n\in\omega\,(x\in A_n^i)$, mientras que

$$x\in\bigcap_{n\in\omega}\bigcup_{i\in\omega}A_n^i$$

iff $\forall n\in\omega\,\exists i\in\omega\,(x\in A_n^i)$; la segunda condición es en la cara de que es más fácil de satisfacer, por lo que debería buscar un ejemplo en el que

$$\bigcup_{i\in\omega}\bigcap_{n\in\omega}A_n^i\subsetneqq\bigcap_{n\in\omega}\bigcup_{i\in\omega}A_n^i\;.$$

En concreto, se podría tratar de construir los conjuntos de $A_n^i$, de modo que hay un elemento $a\in A_n^n$ todos los $n\in\omega$, lo que garantizará que

$$a\in\bigcap_{n\in\omega}\bigcup_{i\in\omega}A_n^i\;,$$

pero lo que hay no $i\in\omega$ tal que $a\in A_n^i$ todos los $n\in\omega$. Esto es fácil: para cada una de las $i\in\omega$ asegúrese de que $a\in A_n^i$ fib $n=i$. Por lo tanto, se puede dejar

$$A_n^i=\begin{cases} \{a\},&\text{if }n=i\\ \varnothing,&\text{otherwise}\;. \end{casos}$$

Entonces

$$\bigcup_{i\in\omega}\bigcap_{n\in\omega}A_n^i=\bigcup_{n\in\omega}\varnothing=\varnothing\;,$$

pero

$$\bigcap_{n\in\omega}\bigcup_{i\in\omega}A_n^i=\bigcap_{n\in\omega}\{a\}=\{a\}\;.$$

Answer 2

Esto no es posible en general. Incluso para las intersecciones y uniones finitas puede tener \cup(B_1\cap B_2)\subsetneqq(A_1\cup B_1)\cap(A_2\cup B_2) $$ (A_1\cap A_2). $$ Tomar por ejemplo $A_2=A_1^c$ (el complemento en $X\neq\emptyset$) y $B_1=A_2,\;B_2=A_1$; entonces $$ A_1\cap A_2 = B_1\cap B_2 = \emptyset, \qquad A_1\cup B_1 = A_2\cup B_2 = X. $$