¿Por qué conmutar la ley grupo con morfismos de curvas elípticas?

Question

Sé que esto debería ser bastante simple, pero ahora lo único que veo cómo probar es sentarse y escribir fórmulas explícitas de la ley del grupo, y ver que todo funciona. ¿Cuál es la razón geométrica o abstracta-absurdo ¿por qué la estructura de Grupo abeliano de curvas elípticas se comporta muy bien bajo homomorphisms?

Answer 1

De esta manera se sigue por una rigidez de la propiedad de ciertos morfismos. Es importante tener en cuenta que las curvas elípticas son completos, es decir, adecuada e integral de los esquemas. Entonces tenemos la siguiente "la Rigidez del Lexema" (ver Mumford del Abelian Variedades, el inicio del capítulo II (página 43 de la antigua edición), por ejemplo):

Deje $X$ ser una completa variedad, $Y$ $Z$ cualquier variedades, y $f:X\times Y\rightarrow Z$ un morfismos tal que para algunos $y_0\in Y$, $f(X\times\{y_0\})$ es un único punto de $z_0$$Z$. Entonces hay una morfismos $g:Y\rightarrow Z$ que si $p_2:X\times Y\rightarrow Y$ es la proyección, $f=g\circ p_2$.

¿Cómo ayuda? Bueno, curvas elípticas tienen un distinguido punto (el origen), y una de morfismos de curvas elípticas es una de morfismos de las demarcaciones de sus planes de tomar un distinguido punto a otro. Nos gustaría mostrar que cualquier morfismos es realmente compatible con el grupo la ley. Así que considera un morfismos de curvas elípticas $f:E_1\rightarrow E_2$, y deje $\Phi:E_1\times E_1\rightarrow E_2$ ser definido por $\Phi(x,y)=f(x+y)-f(x)-f(y)$. A continuación,$\Phi(E_1\times\{0\})=0$, por lo que por el lema que he citado, hay una morfismos $g:E_1\rightarrow E_2$ tal que $\Phi=g\circ p_2$. Y desde $\Phi(\{0\}\times E_1)=0$, así, $g$ debe ser cero. Pero, a continuación, $\Phi$ sí debe ser cero.

Nada de esto invocado $E_1$ $E_2$ curvas elípticas; funciona exactamente de la misma manera para abelian variedades.

Answer 2

También hay una simple analítica de la prueba que es esclarecedor de una manera diferente.

Deje $f : E \to E'$ ser una de morfismos de curvas elípticas. Ambos E y E' ha $\mathbb C$ como su universal que cubre el espacio. La composición de la $\mathbb C \to E \to E'$ ascensores de manera única a un mapa continuo $\overline f$ $\mathbb C$ en el universal, el cubrimiento de los $E'$ (desde el origen es simplemente conectado), y $\overline f$ es holomorphic porque el mapa $\mathbb C \to E'$ es localmente biholomorphic.

Vamos $E = \mathbb{C}/\Lambda$, $E' = \mathbb{C}/\Lambda'$. Sabemos que para $\lambda \in \Lambda$ tenemos $\overline f(z+\lambda) - \overline f(z) \in \Lambda'$, por lo tanto $\overline f(z+\lambda) - \overline f(z)$ es constante, como una función de z. La diferenciación, la derivada de $\overline f$ es doblemente un periódico de la función, por lo que es una constante. Desde $f$ debe preservar el punto de base en las curvas elípticas, que es la imagen de 0, podemos suponer que las $\overline f (0) = 0$ $\overline f (z) = cz$ para algunas constantes $c$. Pero el grupo de leyes en E y E' son inducidos por el grupo de la ley de $\mathbb C$, por lo que el hecho de que f conserva la estructura del grupo se reduce a la ley distributiva!

La misma prueba tiene también para cualquier complejo de toro.

Answer 3

Esta respuesta es una elaboración en algunos de los anteriores. A lo largo suponemos que $\phi:E\_1 \rightarrow E\_2$ es una de morfismos de curvas elípticas (así, en particular, conserva los orígenes, es decir,$\phi(O) = O$).

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Aquí es una forma concreta de la rigidy argumento:

Si $P$$E\_1$, entonces podemos definir un mapa de $\phi\_P:E\_1 \rightarrow E\_2$ a través de $\phi\_P(X) = \phi(X + P) - \phi(P)$. Tenga en cuenta que $\phi\_O = \phi.$ (Aquí utilizamos el hecho de que $\phi(O) = O$.) Por lo tanto $\phi\_P$ es una familia de mapa de $E\_1 \rightarrow E\_2$, parametrizadas por $E\_1$, pasando a través de $\phi$, con la propiedad de que $\phi\_P(O) = O.$

Ahora $\phi\_P$ induce un local correspondiente mapa local de los anillos $\phi_P^*: \mathcal O_{E\_2,O} \rightarrow \mathcal O_{E\_1,O},$ y, por tanto, también en la longitud finita cocientes. $(\phi_P^*)_n: \mathcal O_{E\_2,O}/\mathfrak m^n \rightarrow \mathcal O_{E\_1,O}/ \mathfrak m^n$. (Here we use $\mathfrak m$ para indicar el máximo ideal en cada uno de los locales de los anillos.)

Si $k$ es nuestro campo de tierra, entonces el origen y el destino de $(\phi_P^*)_n$ sólo finito-dimensional espacios vectoriales, y así $P \mapsto (\phi\_P^*)_n$ es una de morfismos (de variedades) de $E$ a de un número finito de dimensiones (y, en particular, afín!) el espacio de las matrices. Desde $E$ es proyectiva y conectado, se debe ser constante.

Por lo tanto $(\phi_P^*)_n = (\phi_O^*)_n$ todos los $n$, y así de paso al límite, nos encontramos con que $\phi_P^* = \phi_O^*$. Por lo tanto $\phi_P$ $\phi_O$ inducir el mismo mapa en local anillos en $O$, y desde $E$ es irreductible, por lo tanto, coinciden.
(Si te gusta, pasando a fracción campos, vemos que inducen los mismos mapas $K(E\_2)\rightarrow K(E\_1)$, y, por tanto, coincidir como morfismos de curvas.)

Por lo tanto $\phi\_P = \phi\_O = \phi.$ Desenrollar la definición de $\phi\_P$, nos encontramos con que $\phi(P + X) = \phi(P) + \phi(X)$ todos los $X$, y por lo tanto que $\phi$ es un grupo homomorphism.

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Aquí hormigón es una versión del argumento con Picard y divisores de:

Para mostrar que $\phi$ es un homomorphism, es fácil ver que es suficiente para mostrar que $P + Q + R = O$ implica que $\phi(P) + \phi(Q) + \phi(R) = O.$ (Para ello se utiliza el hecho de que $\phi(O) = O$; esperemos que no haya confusión es causada por el uso de $O$ para denotar el origen de ambos $E$$F$.)

Ahora $P + Q + R = O$ (en el grupo de la ley de $E$) si y sólo si existe una función racional $f$ tal que div $f$ = P + Q + R - 3 S (donde ahora el lado derecho es un divisor de a $E$); es decir, si y sólo si $P + Q + R - 3 O$ es una de las principales divisor. (Concretamente, si $E$ es dado por un cúbicos ecuación de Weierstrass en ${\mathbb P}^2$ con coordenadas homogéneas $X$, $Y$, y $Z$, $P + Q + R = O$ cuando $P$, $Q$, y $R$ son colineales, y, a continuación, si $\ell(X,Y,Z)$ es la ecuación de la recta que pasa a través de ellos, la función de $f$ puede ser llevado a ser $\ell(X,Y,Z)/Z^3$.)

Del mismo modo $\phi(P) + \phi(Q) + \phi(R) = O$ en el grupo de la ley de $F$ si y sólo si el divisor $\phi(P) + \phi(Q) + \phi(R) - 3 O$ es la directora.

Así que se reduce a mostrar que la $\phi$ toma principal divisores principal divisores.

Esta es una propiedad general de los mapas de suaves curvas proyectivas: si $\phi$ es constante, no hay nada para mostrar. De lo contrario, si $\phi:C \rightarrow D$ no es constante, a continuación, se induce una extensión finita de la función de los campos de $K(D) \hookrightarrow K(C)$, y tenemos la correspondiente norma del mapa (en el sentido usual de la teoría del campo) $K(C) \rightarrow K(D)$. Resulta que para cualquier función de $f \in K(C)$, hemos div$(\text{norm of }f) = \phi(\text{div }f)$. (Este es un ejercicio cuya dificultad dependerá de su nivel de comodidad con el material; si se entiende los conceptos básicos de funciones racionales y divisores en curvas bien, entonces no es demasiado duro.)

Answer 4

Mira lema 4.9 y ejercicio 2.6 en el capítulo IV de hartshorne. Creo que se trata de que el grupo de una curva elíptica es isomorfo a su grupo de picard, el grupo de poleas invertible donde la operación de grupo viene dada por el producto del tensor y el hecho de que un % de morfismo $f:X\to Y$induce un homomorfismo h $f_*:Pic\ Y \to Pic\ X$.

(el isomorfismo envía un punto P a la gavilla de funciones con un cero simple en P y un poste simple en el infinito).

Answer 5

Usted no necesita fórmulas explícitas. En un contexto más general de la configuración, vamos a $A$, $B$ ser abelian variedades y deje $f:A\to B$ ser una de morfismos de variedades de envío de $0$$0$. A continuación, $f$ es automáticamente un morfismos de abelian variedades : conserva la estructura del grupo.

Véase, por ejemplo, Mumford, el libro de Abelian Variedades, o Milne en línea de notas. En la p. 8, Milne escribe

Corolario 1.2. Cada mapa $\alpha:A\to B$ de abelian variedades es un compuesto de un homomorphism con una traducción.

Esto es una consecuencia de la "rigidez teorema".

Usted también puede consultar con su anterior expositiva artículo 1986b.