¿Cuándo un vector propio de una matriz contiene sólo una constante?

Question

Cuando puedo calcular los vectores propios de una cierta matriz, el primero de ellos se compone enteramente de una sola constante.

¿Qué propiedades de una matriz de conducen a este resultado?

Actualización

Por "un vector compuesto de un constante" quiero decir n repeticiones de una constante que comprende una longitud - n vector.

Answer 1

Tomar una $n \times n$ matriz $A$, y supongamos que $v$ es un autovector de a $A$, con todas las entradas de $v$ igual a una constante $k$. Naturalmente, $k \ne 0$. Deje $\lambda$ ser el autovalor de a $A$ que ha $v$ como un autovector. Si $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ es cualquier fila de $A$, entonces por la definición de autovalor y autovector, tenemos $$kb_1+kb_2+\cdots +kb_n=\lambda k,$$ desde que llegamos a la conclusión de que $b_1+b_2+\cdots+b_n=\lambda$. De ello se desprende que cada fila suma de la matriz es igual a $\lambda$.

Por el contrario, supongamos que todos los de la fila de sumas de $A$ son igual a $\sigma$. Deje $v$ ser el vector con todas las entradas igual a $1$. A continuación, $Av$ es un vector con todas las entradas igual a $\sigma$, lo que significa que $v$ es un autovector de a $A$ con autovalor $\sigma$.

Por lo tanto $A$ tiene un autovector con todas las entradas iguales si y sólo si todos los de la fila de sumas de $A$ son iguales.

Answer 2

Ejercicio: una matriz tiene un vector propio con todas las entradas iguales si y sólo si todas las filas de la matriz tienen la misma suma.