La Pregunta.
Estoy leyendo Lawson "Inversa Semigroups: La Teoría de las Simetrías" y me he encontrado algo que no entiendo. Es reivindicada en la página 34 de mi copia que
La categoría de completar, infinitamente distributiva inversa semigroups junto con la combinación de la preservación de homomorphisms forma una subcategoría de la categoría de la inversa semigroups y homomorphisms; de hecho, el primero es un reflexivo subcategoría de este último.
Vamos a llamarlos $\mathbf{CompInfDist}_{\vee}$$\mathbf{InvSem}$, respectivamente.
¿Qué es exactamente la izquierda adjunto de la inclusión functor que hace que $\mathbf{CompInfDist}_{\vee}$ reflectante en $\mathbf{InvSem}$?
Los Detalles.
Este es el material técnico así que vamos a tener algunas definiciones. Deje $S$ inverso semigroup. Siguiente Lawson . . .
Definición 1: La compatibilidad de la relación en $S$ está dado por $$s\sim t\iff st^{-1}, s^{-1}t\in E(S),$$ where $E(S)$ is the set of idempotents of $S$.
Definición 2: Un subconjunto $A$ $S$ es compatible si cualquier par de elementos de a $A$ son compatibles.
En el encuentro, $a\wedge b$, $S$ $a, b\in S$ se define como el mayor límite inferior de $a$ $b$ con respecto al orden natural en $S$; la combinación ($\vee$) se da doblemente. Estos se extienden a los conjuntos de forma natural.
Definición 3: decimos $S$ es completa si todos los no-vacío compatible subconjunto de $S$ tiene una combinación.
Definición 4: decimos $S$ es de izquierda infinitamente distributiva si, siempre que $A$ es un no-vacío es subconjunto de a $S$ que $\bigvee A$ existe, $\bigvee sA$ existe para cualquier elemento $s\in S$$s\left(\bigvee A\right)=\bigvee sA$. A continuación, $S$ es infinitamente distributiva si es que tanto la izquierda y la derecha infinitamente distributiva, en donde el "derecho infinitamente distributiva" se define de forma análoga a la izquierda.
Citando MacLane,
Definición 5: Una subcategoría $\mathcal{A}$ $\mathcal B$ es llamado reflexivo ( $*$ ) $\mathcal B$ cuando la inclusión functor $K:\mathcal A\to\mathcal B$ ha dejado adjoint $F:\mathcal B\to\mathcal A$.
Mi Intento.
Estoy completamente perdida. Lo siento. He escrito a cabo todas las definiciones pertinentes en mi pizarra, incluyendo periférica, fáciles como "functor", "adjunto", "subcategoría", etc., pero yo no lo veo.
De todos modos, gracias por leer todo esto!
Ayuda por favor :)
He tenido una idea!
Definición 6: Un subconjunto $A$ $S$ es permisible si es compatible con el orden ideal. El conjunto de todos los admisible subconjuntos de a $S$ es denotado $C(S)$.
Lema 1: $C(S)$ (en virtud de la multiplicación de los subconjuntos) es un objeto de $\mathbf{CompInfDist}_{\vee}$.
La "prueba": Este es el Teorema de 1.4.23 de Lawson del libro. $\square$
$\color{red}{\text{Perhaps}}$
,
donde $F=C'$ está dado por $C'(S\stackrel{f}{\to}T)=C(S)\stackrel{Cf}{\longrightarrow}C(T)$$Cf: C(S)\to C(T)$$A\mapsto f(A)$. Pero esto para satisfacer las necesidades de $$\hom_{\mathbf{CompInfDist}_{\vee}}(C(S), Q)\cong_{\varphi_{(S, Q)}}\hom_{\mathbf{InvSem}}(S, K(Q)=Q)$$ for some natural bijection $\varphi_{(S, Q)}$.
Definir $\iota: S\to C(S)$ $\iota(s)=[s]$ donde $[s]$ $\sim$- clase de $s$.
Lema 2: Si $\theta: S\to Q$ es un homomorphism a un objeto $Q$ $\mathbf{CompInfDist}_{\vee}$ entonces existe un único morfismos $\theta^*:C(S)\to Q$ $\mathbf{CompInfDist}_{\vee}$ dada por $$\theta^*(A)=\bigvee\{\theta(a)\mid a\in A\}$$ such that $\theta^*\iota=\theta$.
La "prueba": Este es el Teorema de 1.4.24 de Lawson libro.$\square$
$\color{red}{\text{Maybe}}\,\varphi^{-1}_{(S, Q)}(\theta)=\theta^*$. Pero lo $\varphi_{(S, Q)}$ dada por?
No estoy seguro de los detalles :/
($*$) Ver los comentarios: creo que esta es la definición de la intención de Lawson.
