El análisis funcional y el operador de la teoría son precisamente las áreas donde este tipo de idea es rigurosamente estudiada. En particular, puesto que trabaja con infinito-dimensional en espacios como el $C^\infty$ y una lineal (aunque no acotada) operador $d/dt$ definido en un infinito espacio tridimensional, no hay manera de que usted puede evitar el tratamiento funcional de la analítica de los detalles.
Sin embargo, el concepto de la exponencial de un operador lineal puede ser definido en dimensiones finitas, donde la totalidad de los métodos de análisis funcional no son estrictamente necesarios. Esto es algo que a veces correr a través de pregrado Odas: si $A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ es un operador lineal, entonces su matriz exponencial está dada por la serie
$$
e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!},
$$
donde $A^n$ se interpreta como el $n$-composición del pliegue de $A$ con sí mismo. La suma converge en el sentido de que las sumas parciales
$$
\sum_{n=0}^N \frac{A^n}{n!}
$$
convergen entrywise a un $n\times n$ matriz, que es precisamente lo denotamos por a $e^A$. La serie también converge en el sentido de que el operador de la norma (o cualquier otra norma equivalente, como en el $L^p$ matriz de normas o de lo finito-dimensional de Hilbert-Schmidt norma). Esto puede ser comprobado con el conocimiento de un típico pregrado de la secuencia de análisis.
Más generalmente, si
$$
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n
$$
es convergente complejo de alimentación de serie con radio de convergencia $R>0$, entonces se puede definir el operador
$$
f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_nA^n,
$$
y esta serie converge a un operador lineal a condición de que los autovalores de a $A$ se encuentran dentro del disco de convergencia. Esto puede ser probado de una manera similar a la misma demanda de $e^A$, que es el caso especial donde los $f(z) = e^z$.
Esta última idea se generaliza para el establecimiento de la limitada operadores lineales en un espacio de Banach. Uno tiene que ser un poco cuidadoso con las definiciones, debido a que el espectro de la teoría de Banach espacio de mapas es más complicado en dimensiones infinitas, pero básicamente se puede decir que si el espectro de la $A$ está contenida en el disco de convergencia de $f$, entonces la serie de la definición de $f(A)$ tiene sentido y le da un delimitada operador lineal. Esto se conoce como la holomorphic funcional de cálculo, y nos da una rigurosa base para trabajar con objetos como $e^{tD}$ al $D$ es un operador acotado en el espacio de Banach.
Lamentablemente, en su ejemplo, con $C^\infty$$D = d/dt$, el operador $D$ puede no estar acotada, y $C^\infty$ puede ser difícil presentar como un espacio de Banach. (Un Frechet estructura de espacio es mucho más natural para $C^\infty$.) Pero en $C^1(K)$, $K$ un conjunto compacto, tenemos una norma natural, dando un espacio de Banach y $D$ es, de hecho, limitada en dicha norma. En esa situación se puede considerar el holomorphic funcional cálculo de $D$ como un operador en $C^1(K)$, e $e^{tD}$ puede ser bien definido utilizando la definición de la serie con un poco de molestia.
Todo esto puede ser estudiado superficialmente después de una bonita introducción básica a los objetos básicos de análisis funcional, como los espacios de Banach y delimitada transformaciones lineales. Un estudio más profundo implicaría un estudio exhaustivo de la teoría espectral y de extensión a la continua y Borel funcional de los cálculos.
