¿Algunos intuición detrás el lema cinco?

Question

Ligeramente simplificada, los cinco lema afirma que si tenemos un diagrama conmutativo (en, digamos, un abelian categoría)

$$\requieren{AMScd} \begin{CD} A_1 @>>> A_2 @>>> A_3 @>>> A_4 @>>> A_5\\ @VVV @VVV @VVV @VVV @VVV\\ B_1 @>>> B_2 @>>> B_3 @>>> B_4 @>>> B_5 \end{CD} $$ donde las filas son exactas y los mapas de $A_i \to B_i$ son isomorphisms para $i=1,2,4,5$, luego el medio del mapa de $A_3\to B_3$ es un isomorfismo así.

Este lema se me ha presentado varias veces en contextos ligeramente diferentes, sin embargo, la prueba ha sido siempre la misma técnica de diagrama de chase y no más allá de la intuición detrás de la declaración. Así que mi pregunta es: ¿tiene algo de intuición a la hora de pensar en los cinco lema? Por ejemplo, las elecciones de la $A_i, B_i$ que hacen más transparente ¿por qué el resultado debe ser verdadera? Algunos analogía, heurística, ...?

Answer 1

Desde hace mucho tiempo exacto secuencias vienen de empalme breve exacta de las secuencias, así podría preocuparse por el caso donde $A_1=A_5=B_1=B_5=0$ (al menos en la intuición de que se trate). Así se desprende del Lema de la Serpiente, por supuesto, pero la versión en la que el exterior vertical de mapas isomorphisms, es incluso más fácil diagrama de chase. Tal vez que va a iluminar.

En términos de por qué es verdad sin persiguiendo elementos, pensar acerca de la misma versión simplificada, pero sólo para Abelian grupos. En general, por supuesto, usted puede tener $G/H \cong G'/H'$ para un montón de grupos de $G,G'$ y los respectivos subgrupos $H,H'$. En general, que isomorfismo ni siquiera se eleva a un homomorphism $G \to G'$, mucho menos la de un isomorfismo. Del mismo modo, usted podría tener $H \cong H'$ sin que isomorfismo que se extiende a un homomorphism $G \to G'$. Sin embargo, si usted tiene ambos, luego el intento de levantar el isomorfismo y el intento de extender los otros que tanto éxito.

Answer 2

Un ejemplo sería un mapa inducido por un morfismo $f: X \to Y$ en la secuencia de homología largo.

Por ejemplo, supongamos que la fila superior es un cohomology de par $(X, A)$ y la fila inferior es la cohomología de par $(Y, B)$. Entonces el teorema dice que el $H^n(X, A)$ puede ser exprimido entre el $n$-th y la cohomología de #%-th $(n-1)$% #% y $X$, porque cualquier morfismo induce isomorfismo en los que se extiende a $A$.

Answer 3

Se puede pensar en el lema cinco en cuanto a las dos cuatro lemas. Creo que esto hace que sea más claro... para gota de instancia $A_1$ y $B_1$ de su diagrama. Si los mapas de $A_2$ y $A_4$ $B_2$ y $B_4$ son epimorphisms, el morfismo $A_5 \to B_5$ es monic y el conúcleo de $A_3 \to A_4$ es un subobjeto del conúcleo de $B_3 \to B_4$. Tan moralmente $B_3$ es una "extensión" de cocientes del $A_2$ y $A_4$ y nos hemos no "mataron menos cosas" en la fila inferior así $A_3 \to B_3$ también debe ser un epimorphism.