lo suficientemente grande

Question

Que $S.$ ser un anillo graduado, finitamente generado por elementos de grado 1 como una $S_0$-álgebra. Que $M.$ ser que finitamente generados clasificados $S.$-módulo. Existe un mapa natrual del $M_n\to\Gamma(\operatorname{Proj}S.,\widetilde{M(n).})$. ¿Cómo demostrar es un isomorfismo cuando $n$ es suficientemente grande?

Answer 1

Esto se desprende de algunos cohomology en esquemas proyectivos (I asumirá $S_0$ noetherian).

Es decir, podemos empezar por asumir, sin pérdida de generalidad que $S$ es un álgebra graduada $S_0[x_1, \dots, x_n]$, debido a $\mathrm{Proj} S$ incrusta como un cerrado subscheme de tales. Así que la pregunta es: dado un $S_0[x_1, \dots, x_n]$-módulo de $M$ (graded, y de finito tipo), es asociada a una coherente gavilla $\widetilde{M}$ sobre el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n_{S_0}$. Hasta qué punto podemos recuperar$M$$\widetilde{M}$?

El reclamo es que el $\widetilde{M}$ determina la $M$ es lo suficientemente grande grados. Más caprichosamente, hay una equivalencia de categorías entre las abelian categoría coherente de las poleas en $\mathbb{P}^n_{S_0}$ y el cociente de la categoría de finitely generadas $S_0[x_1, \dots, x_n]$-módulos por la Serre subcategoría de los módulos con sólo un número finito distinto de cero gradual de los términos. El cuasi-inversa functor envía $\mathcal{F} \mapsto \bigoplus \Gamma(\mathbb{P}^n_{S_0}, \mathcal{F}(n))$.

Para probar que esto es esencialmente su reclamación, ya que el functor $M \mapsto \widetilde{M}$ es esencialmente surjective (de hecho, sabemos que a partir de con $\mathcal{F}$, formando el graduado de módulo como en el anterior, y la aplicación de la tilde da lo mismo).
Supongamos ahora que un módulo de $M$ tiene la propiedad de $P$ si el mapa $P_n \to \Gamma(\mathbb{P}^n_{S_0}, \widetilde{P}(n))$ es un isomorfismo para $n \gg 0$. Es fácil comprobar que esto es cierto para la libre gradual de los módulos, y por lo tanto de sus giros. El reclamo es que si $M', M$ tienen la propiedad $P$ y hay una secuencia exacta $$M' \to M \to M'' \to 0,$$ a continuación,$M''$$P$. La razón es que la secuencia $$\Gamma(\mathbb{P}^n_{S_0}, \widetilde{M'}(n)) \to \Gamma(\mathbb{P}^n_{S_0}, \widetilde{M}(n) )\to \Gamma(\mathbb{P}^n_{S_0}, \widetilde{M''}(n)) \to 0$$ es exacto para $n \gg 0$. (Este es esencialmente el teorema de Serre que torcer mucho mata cohomology.) Así que ahora cinco lema argumento muestra que es verdad para $M''$. Ya que cada finitely generado gradual módulo tiene una presentación gratuita, la demanda está probado.