¿Crecimiento asintótico de $\prod_{k=1}^n \frac{k^\alpha}{\lambda + k^\alpha}$?

Question

¿Podría explicar por qué para $\lambda > 0$ y $0 < \alpha < 1$ $$\prod_{k=1}^n \frac{k^\alpha}{\lambda + k^\alpha} \sim \exp\left(-\frac{\lambda}{1-\alpha}n^{1-\alpha}+o(n^{1-\alpha})\right)$ $holds? Estoy atrapado en el momento.

EDIT: añadido $o()$ término para corrección.

Answer 1

Definir $u:x\mapsto\log(1+\lambda x^{-\alpha})$ y, para cada $n\geqslant1$, $s_n=\sum\limits_{k=1}^nu(k)$. La función de $u$ está disminuyendo por lo tanto $$ \int_{k}^{k+1}u(x)\,\mathrm dx\leqslant u(k)\leqslant\int_{k-1}^ku(x)\,\mathrm dx. $$ Sumando los rendimientos, para cada $n$, $$ u(n)+\int_1^nu(x)\,\mathrm dx\leqslant s_n\leqslant u(1)+\int_1^nu(x)\,\mathrm dx. $$ Para cada $z\geqslant0$, $z-\frac12z^2\leqslant\log(1+z)\leqslant z$, por lo tanto $$ w_n-v_n\leqslant\int_1^nu(x)\,\mathrm dx\leqslant w_n, $$ donde $$ w_n=\lambda\frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha},\qquad v_n=\frac12\lambda^2\int_1^nx^{-2\alpha}\,\mathrm dx\leqslant \lambda^2 C_\alpha\,\max\{n^{1-2\alpha}\log(n+1),1\}. $$ En particular, $v_n\ll n^{1-\alpha}$, $u(1)\ll n^{1-\alpha}$ y $u(n)\sim\lambda n^{-\alpha}\ll n^{1-\alpha}$, por lo tanto $s_n=w_n+o(w_n)$ y $$\prod_{k=1}^n \frac{k^\alpha}{\lambda + k^\alpha}=\mathrm e^{-s_n}= \exp\left(-\frac{\lambda}{1-\alpha}n^{1-\alpha}+o(n^{1-\alpha})\right). $$

Answer 2

No es realmente una respuesta sino un esquema informal muy rápido:

$$\log \prod_{k=1}^n \frac{k^\alpha}{\lambda+k^\alpha } = \sum_{k=1}^n - \log(1 +\lambda \, k^{-\alpha}) \approx - \lambda \sum_{k=1}^n k^{-\alpha} \approx - \lambda \int_0^n x^{-\alpha}dx = -\lambda \frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$