Encontrar una función analítica que asigna el $-\pi/4<\operatorname{arg}(z)<\pi/2$ del ángulo en el plano medio superior así que #% el %#% y $w(1-i)=2,w(i)=-1$

Question

Encontrar una analítica de la función que se asigna el ángulo de $-\pi/4<\operatorname{arg}(z)<\pi/2$ sobre la mitad superior del plano, de manera que $w(1-i)=2$, $w(i)=-1$ , y $w(0)=0$

Estoy tratando de utilizar esta fórmula

$$\frac{w-w_1}{w-w_3 }\cdot\frac{w_2-w_3}{w_2-w_1 }=\frac{z-z_1}{z-z_3 }\cdot\frac{z_2-z_3}{z_2-z_1 }$$

así que me puse

$$\frac{w-2}{w-0 }\cdot\frac{-1-0}{-1-2 }=\frac{z-1+i}{z-0 }\cdot \frac{i-0}{i-1+i }$$ $$\frac{w-2}{w }\cdot\frac{1}{3 }=\frac{iz-i-1}{z(2i-1) }$$

$$w-2=3w\cdot\frac{iz-i-1}{z(2i-1) }$$

$$w(1-3\cdot\frac{iz-i-1}{z(2i-1) })=2$$ $$w=\frac{2z(2i-1)}{2iz-z-3iz+3i+3}$$

$$w=\frac{4iz-2z}{-iz-z+3i+3}$$ $$w=\frac{4iz-2z}{(3-z)(1+i)}$$

En orden para que esto sea analítico, $z$ no debe ser $3$, pero el ángulo de $-π/4<\operatorname{arg}(z)<π/2$ también incluyen $3$.

Ahora puedo seguir la sugerencia de GEdgar y probado el poder de $z$. Sé que $w=z^n$ mapa siempre el ángulo de $\pi/n$ sobre la mitad superior del plano. En este problema mi ángulo entre el $\frac{-\pi}{4}$ $\frac{\pi}{2}$ $arg(w)$ debe ser de entre $-n\pi/4$$n\pi/2$? y el radio de la $w$ $r^n$ $|z|=r$

Ahora el enchufe en la función de $w=z^n$ tengo

$$(1-i)^n=2$$

$$i^n =-1$$

$$0^n=0$$

La última ecuación de trabajo para cualquier $n$, la segunda ecuación implica que $n=2$, pero la primera ecuación que resuelve $n$ y consiguió $n= \ln (\frac{2}{1-i})$ pero $n$ es el número real, ¿verdad?

En realidad, yo no tiene que preocuparse acerca de $n$ porque $w=z^n$ es analítica para todos los $n$, pero si esto es cierto, entonces ¿por qué ellos tienen que dar me $w(1-i)=2$, $w(i)=-1$ , y $w(0)=0$?

Answer 1

Descargo de responsabilidad. A riesgo de dar una respuesta equivocada - se hará evidente en la parte inferior de la línea de por qué - sin embargo, aquí viene. Algo está mal, ya sea en el pregunta o en mi respuesta. Mi pregunta es, por supuesto: ¿dónde está el error?

El siguiente es un tema relacionado @ Matemáticas de Intercambio de la Pila:

• Aplicaciones de conformal mapping

Y la palabra clave principal se encuentra @ Wikipedia como:

• Schwarz–Christoffel de asignación de

El uso de esa teoría que tenemos para $-\pi/4<\operatorname{arg}(z)<\pi/2$ ,$z=0$ : $$ \frac{dz}{ps} = K'(w-0)^{(\pi/2+\pi/4)/\pi-1} = K' w^{-1/4} \quad \Longrightarrow \quad z = K w^{3/4} + C $$ Con $K = 4/3\cdot K'$. Sustituto $z=0$ $w=0$ aquí y encontrar que $C=0$. Siguiente paso: $$ i = K(-1)^{3/4} = K e^{i\,3\pi/4} = K/\sqrt{2}(-1+i) \quad \Longrightarrow \quad K = \frac{1-me}{\sqrt{2}} $$ De ello se sigue que: $$ w(z) = \left(\frac{\sqrt{2}\,z}{1-me}\right)^{4/3} = \left(e^{i\pi/4} z\right)^{4/3} = g(z) $$ En consecuencia: $$ w(1-i) = \left(\sqrt{2}\right)^{4/3} = 2^{2/3} \ne 2 $$ Esto no es consistente con el OP pregunta y explica el descargo de responsabilidad anterior.

La actualización. Parece que mi respuesta equivocada ha servido como un Ansatz para la respuesta correcta por Christian Blatter: $\,w(z) = T(g(z))$ ; por lo que ha servido a un propósito y no voy a eliminarlo.
Un gráfico de contorno de ambos $\,g(z)\,$ - a la izquierda - y $\,T(g(z))\,$ - en el derecho - muestra las diferencias.
Las vistas son $\,-0.1 < x < 1.9$ , $-1 < y < +1\,$ $\,z = x+i\,y$ ; isolíneas de la Imaginaria están en $\color{red}{red}$ e isolíneas de las partes Reales son en $\color{green}{green}$ . Niveles de contorno se entre $-4$ $+4$ con pasos de $4/30$.

Answer 2

El mapa $$g(z):=\left(e^{i\pi/4} z\right)^{4/3}$$ los mapas de open cuña $W:\ -{\pi\over 4}<{\rm Arg}(z)<{\pi\over2}$ sobre la mitad superior del plano. Los tres puntos $i$, $0$, $1-i$ está acostado en el límite de $W$, pero $g$ toma el cuidado de ellos. Uno calcula $$g(i)=-1, \quad g(0)=0,\quad g(1-i)=2^{2/3}\ .$$ No todos los tres puntos así obtenidos están en la posición deseada. Por lo tanto, debemos establecer una transformación de Moebius $T$ con $$T:\quad\bigl(-1,0,2^{2/3}\bigr)\mapsto\bigl(-1,0,2\bigr)\ .$$ Para esto $T$ podemos hacer la siguiente "Ansatz": $$T(z)={az\over d-z}\ .$$ (Uno ha $b=0$ desde $T(0)=0$; además, se puede tomar $c=-1$ desde $T$ no puede ser una relación de semejanza.) Conectar las correspondencias $-1\mapsto -1$, $2^{2/3}\mapsto 2$ da $$a=2{1+2^{2/3}\over2-2^{2/3}}\doteq 12.5,\quad d=3{2^{2/3}\over 2-2^{2/3}}\doteq 11.54\ .$$ $T$ mapas el eje real (incl. $\infty$) sobre el eje real. Desde $T'(0)={a\over d}>0$ la mitad superior del plano-se mapea en la mitad superior del plano, como se desee. El $f$ que se busca es que el dado por $f:=T\circ g$.