Derivado de la función es más grande?!

Question

Hoy he tenido una lección sobre derivados y nuestro profesor nos mostró un derivado que es más grande que su función. Esto no parece de fiar, alguien me puede ayudar con eso?

Cualquier explicación será apreciada.

¿Por cierto alguien puede decir qué tiene de especial el número e?

Answer 1

Dibujar su favorito de la función $f$ en un pedazo de papel. Aproximadamente dibujar su derivado $f'$ en el mismo pedazo de papel. Ahora, mueva su función de $f$ (a lo largo de la $y$-eje), y llamar a esta nueva función $f_{down}$. Tenemos $f_{down}' = f'$. Por lo tanto, las derivadas de la función y la función original es el mismo (pero mientras tanto, hemos hecho nuestra función original de "menor" a través de mover hacia abajo).

En efecto, la derivada de las medidas de la tasa de cambio de una función y no tiene nada que ver con la "altura" de nuestra función. En particular, si nuestra función original es limitado y también tiene un almacén de derivados, es decir, $|f| \leq b$ $|f'| \leq a$ para algunos números reales $a$$b$, siempre podemos crear una función cuya derivada es siempre más grande que sí mismo utilizando el mismo procedimiento descrito anteriormente.

Answer 2

Deje $f(x)=-e^{-x}$; a continuación, $f$ es siempre negativo, sino $f'(x)=e^{-x}$ es siempre positiva, por lo $f'(x)>f(x)$ todos los $x\in\mathbb{R}$.

EDIT: Lo que realmente ocurre aquí es que estamos teniendo una función de $f$, lo que siempre es positivo, pero siempre es decreciente (esto puede suceder por cerciorándose de que la función disminuye a un ritmo más lento y más lento de la velocidad; es decir, que la segunda derivada de la función es positiva "suficiente"). Ya que es siempre decreciente, es derivado es siempre negativo, y por lo tanto estrictamente menor que el valor de la función en sí. Usted puede demostrar que no hay función polinómica tiene esta propiedad; sin embargo, todavía hay funciones polinómicas que son siempre mayores que sus derivados - un ejercicio divertido.

Veamos $f(x)=e^x-12$.

O cualquier número de otros ejemplos . . .

EDIT: hacia la segunda pregunta, "¿Qué es tan especial acerca de $e$ " déjame dar una respuesta corta: $e$ pasa a tener la propiedad de que la derivada de $e^x$ con respecto al $x$ es sólo $e^x$ nuevo. Esto hace que $e$ muy útil número para un montón de ejemplos de cálculo - como el mío, por encima de. Hay mucho, mucho más en esta historia: ¿por qué existe un número con el que la propiedad, en todo? ¿Qué otras propiedades no $e$? ¿De qué otra manera se $e$ útil en matemáticas? Pero sospecho que esta pregunta ya ha sido pedido (y bien contestadas) en este sitio.

Answer 3

En realidad no tiene sentido comparar directamente el valor de la derivada con el valor de la función. Es como comparar la velocidad con que un coche está viajando con la posición del coche en la carretera. Si realmente quieres comparar de alguna manera, tiene más sentido comparar la velocidad del coche, que es la distancia recorrida por el coche por alguna unidad de tiempo, con la distancia entre dos puntos en el camino, que es lo lejos el coche ha viajado (no la posición del coche). Tenga en cuenta que debemos ponernos de acuerdo en la unidad de tiempo para medir la velocidad, en km/hora o km/seg, de lo contrario solo cambiar la unidad de tiempo puede hacer que el valor numérico de la velocidad tan grande como desee, haciendo la comparación carece de sentido.

En las fórmulas, lo que yo estoy diciendo es que el $f'(x)$ es el derivado de la $g(x)=f(x)+C$ para cualquier constante $C$, de modo que por la elección de $C$ muy grande positivo o muy negativo, usted puede conseguir cualquiera de las dos desigualdades $g'(x)<g(x)$ $g'(x)>g(x)$ fijos $x$. Pero la diferencia de $g(x)-g(y)$ (para dos puntos cualesquiera $x$$y$) sigue siendo la misma, no importa lo que la constante de $C$, por lo que es más significativo de la cantidad a ser comparado con $g'$. Esto no es suficiente, porque si tenemos en cuenta la nueva función de $h(x)=g(ax)$,$h(x)-h(y)=g(ax)-g(ay)$$h'(x)=ag'(ax)$, de modo que por la elección de $a$ muy grandes o muy pequeños, uno puede hacer cualquiera de las dos desigualdades $|h'(x)|<|h(x)-h(y)|$ $|h'(x)|>|h(x)-h(y)|$ cierto. Una forma de solucionar este problema sería exigir $x-y=1$, o a considerar las funciones que están definidas en el intervalo de $[a,b]$, etc. Creo que sé lo que estoy haciendo aquí: Se introduce el "longitud estándar" en el $x$-dirección, que es la introducción de una unidad de tiempo en el coche en el ejemplo.

En cualquier caso, suponiendo que se elija una de las formas legítimas de la comparación, si estaban con los ojos vendados y recoger a una función de un zoológico de funciones, hay una gran posibilidad de que la derivada de la función será mucho mayor que el de la función. Esto es debido a que una función puede oscilar muy rápido, incluso a pesar de tener un rango limitado de valores. Un ejemplo es $\varepsilon\sin(nx/\varepsilon)$ pequeña $\varepsilon$ y de un gran $n$. Otra crudo explicación es que se le permite dividir por un número que es tan pequeña como se quiera en la definición de derivado, pero que está dividiendo por 1 o algo de tamaño moderado en la otra expresión $g(x)-g(y)$.