¿Cuántos grupos no abelianos de orden 2009? (Comprueba el trabajo)

Question

Sólo necesito que alguien compruebe este argumento.

Sea $G$ sea un grupo no abeliano de orden $2009$ . La factorización en primos de $2009$ es $7^2 \cdot 41$ . Sea $n$ sea el número de subgrupos Sylow 7.

Entonces $n \equiv 1$ mod $7$ y $n$ divide $41$ . Desde $41$ es primo, debemos tener $n =1$ o $n=41$ pero $41 \equiv 6$ mod $7$ . Así $n=1$ y tenemos un único subgrupo Sylow 7 $H$ .

Desde $H$ es el único subgrupo Sylow 7, tenemos que $H$ es un subgrupo normal de $G$ . Tomando el cociente tenemos que $|G/H|=41$ Así que $G/H$ es cíclico de orden 41.

Desde $G/H$ es cíclico, $G$ es abeliano. Por tanto, no existe ningún grupo no abeliano de orden $2009$ .

Answer 1

Si $G/H$ es cíclico entonces no se puede decir $G$ es abeliano como Mikko señaló.

Deberías seguir así;

Sea $q=41$ entonces $n_q$ debe dividir $49$ y $n_q\equiv 1 \ mod \ (41) \implies n_q=1 $ .

Por lo tanto todo subgrupo sylow es normal, $G\cong H\times K$ donde $|H|=49$ y $|K|=41$ ya que cualquier grupo de orden $p^2$ es abeliano, $H$ es abeliano entonces claramente $G$ es abeliano.

Answer 2

Publiqué un comentario erróneo en una respuesta (entretanto borrada) - (gracias Mikko por señalarlo). No obstante, los argumentos dados por Mesel y Frost Boss se generalizan muy bien a los grupos $G$ de orden $p^2q$ con $p$ y $q$ primos, tales que $p \lt q$ , $p \nmid q-1$ y $q \nmid p^2-1$ . Dicho grupo tiene que ser abeliano.
(Tenga en cuenta las condiciones $p \lt q$ , $p \nmid q-1$ implica $q \nmid p^2-1$ Así que $p \lt q$ , $p \nmid q-1$ es suficiente para garantizar la abelianidad).