Intuición de la invariabilidad de la potencia del punto

Question

La potencia de un punto es una famosa demostración en geometría elemental, que afirma que:

Para un círculo $\omega$ y un puente $P$ fuera de ella, para cualquier línea que pase por $P$ que se cruza con $\omega$ en $A$ y $B$ la cantidad $PA.PB$ es invariable para cualquier $A$ , $B$ .

Puedo encontrar el prueba en la wikipedia, y en todos los demás sitios, pero no estoy encontrando la prueba lo suficientemente intuitiva como para ver la invariabilidad de la multiplicación de un vistazo, y tener una visión de "¡Ahá!

No me malinterpretes, entiendo perfectamente la prueba; pero es como la bien mencionada suma $\sum_{i=0}^{n}n^3 = [\sum_{i=0}^{n}n]^2 $ - se puede demostrar que es correcta, pero no se puede ver a simple vista. (Para esa ecuación en particular, alguna Prueba-sin-palabras da la intuición adecuada).

¿Existe alguna prueba/explicación que demuestre claramente la invariabilidad de la potencia de un punto?

Actualización : La otra respuesta (que no aporta nada nuevo, pero) plantea otra buena pregunta derivada, para el círculo $\omega$ y el arco ${AB}$ y cualquier punto $P$ en $\omega$ , $\angle {APB}$ es constante. La misma situación que la anterior, conozco la prueba, pero no tengo ninguna idea de su veracidad.

Answer 1

Dibuja una línea tangente desde $P$ a $\omega$ , reunión $\omega$ en $C$ digamos.

Dibujar la cuerda $AC$ .

Ahora encuentra triángulos similares . . .

Ángulos $CBA$ y $ACP$ están inscritos en el mismo arco, por lo que

\begin{align*} &\angle CBA = \angle ACP\\[4pt] \implies\;&\angle CBP = \angle ACP \end{align*}

Como los triángulos $CBP$ y $ACP$ también tienen un ángulo compartido en el vértice $P$ se deduce que los triángulos son similares.

Entonces, dejando $k = PC$ La similitud da como resultado \begin{align*} &\frac{PB}{PC}=\frac{PC}{PA}\\[6pt] \implies\;&(PA)(PB) = k^2 \end{align*}

Así, el valor del producto $(PA)(PB)$ es constante, independientemente de la elección de la secante.