Cómo integrar$\int_1^\infty e^{-\alpha x}J_0(\beta\sqrt{x^2-1})\mathrm{d}x \,$?

Question

Esta integral es de (6.616.2) en Gradshteyn y Ryzhik. $$\int_1^\infty e^{-\alpha x}J_0(\beta\sqrt{x^2-1})\mathrm{d}x \,=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}e^{-\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$$

I want to know how to do this integral and the restriction of $\alpha$ and $\beta$. The integral table doesn't mention it.

I doubt the results must have some restriction on $\alpha$ and $\beta$, because:

1. it seems that when $\mathrm{Re}\,\alpha <0$, la integral diverge.

2. también al $\alpha$ es puramente imaginario, y para $\beta$ real, el resultado debe ser conjugado complejo al $\alpha$ se lleva a conjugar puramente imaginario pares, $\pm i$ por ejemplo, sin embargo, el resultado sólo depende de $\alpha^2$.

3. También he encontrado por Mathematica de integración numérica que al $\alpha$ es puramente imaginaria, la integración también parece problemático.

Editar:

La respuesta por @Fabian dar una condición general que al $\mathrm{Re}\alpha>\mathrm{Im}\beta$, la integral converge. Sin embargo, ¿qué $\mathrm{Re}\alpha=\mathrm{Im}\beta$. Para el caso más simple al $\alpha$ es puramente imaginario y $\beta$ es real, Mathematica puede dar el mejor resultado al $|\alpha|>|\beta|$, mientras que parece que se bifurca al $|\alpha|<|\beta|$:

\[Alpha]=-3I ;\[Beta]=2;
NIntegrate[Exp[-\[Alpha] x]BesselJ[0,\[Beta] Sqrt[x^2-1]],{x,1,Infinity}]
f[a_,b_]:=Exp[-Sqrt[a^2+b^2]]/Sqrt[a^2+b^2]
f[\[Alpha],\[Beta]]//N
-0.351845-0.276053 I
-0.351845+0.276053 I

Answer 1

Las dos expresiones son iguales por analítica continuación, siempre que el lado izquierdo existe. El único problema de la convergencia de la integral es en $x\to \infty$. Tenemos la expansión asintótica $(|\arg z| < \pi)$ $$J_0(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \cos(z-\pi/4).$$

Así, por $x\to \infty$, tenemos que el integrando se comporta como $$e^{-\alpha x}J_0(\beta\sqrt{x^2-1}) \sim e^{-\alpha x} \sqrt{\frac{2}{\pi \beta x}} \cos(\beta x-\pi/4).$$

Vamos a investigar primero el caso de $\mathop{\rm Im} \beta>0$, entonces tenemos que $$e^{-\alpha x}J_0(\beta\sqrt{x^2-1}) \sim \sqrt{\frac{i}{2\pi \beta x}} e^{-(\alpha+i \beta) x};$$ la integral por lo tanto converge para $\mathop{\rm Re}\alpha >\mathop{\rm Im} \beta$.

El caso de $\mathop{\rm Im} \beta<0$ puede ser tratada de igual manera, con el resultado de que la integral converge siempre $$\mathop{\rm Re} \alpha >|\mathop{\rm Im} \beta|.\tag{1}$$ El caso de $\mathop{\rm Re} \alpha =|\mathop{\rm Im} \beta|$ necesidades especiales de atención, como en este de la línea de la convergencia condicional.

Con respecto a tus preguntas:

1) es incorrecta, ver (1) anterior. $\text{ }$

2) esto es exactamente cubiertos por la analítica continuación. Si sigues $\alpha$ desde la línea real a la parte superior del eje imaginario, a continuación, obtener una rama de la raíz cuadrada. Continuar a la parte inferior del eje imaginario de obtener la otra rama. En la fórmula, tenemos que $$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} \stackrel{\alpha \to\pm i a}\mapsto \pm i \sqrt{a^2-\beta^2}.$$

3) cuando $\alpha=i a$ es puramente imaginaria, entonces la integral es problemático como es el de oscilación muy rápido. Es normal que en este caso numérico rutinas de ejecución en apuros. Así que usted debe confiar en este caso a continuación analítica en su lugar.