Suprayectividad de un mapa continuo entre $\mathbb{R}^d$s

Question

Que $f:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^d$ ser un mapa continuo. Muestran que si $\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}^d}|f(x)-x|<\infty$, entonces el $f$ es sobreyectiva.

Me encontré con este problema en mi clase de ejercicios de cálculo hace más de 3 años cuando era un estudiante de pregrado de mi colegio. No tengo ni idea desde entonces. ¿Alguien puede solucionar esto? Gracias.

Answer 1

Vamos $$c > \sup_{x\in \mathbb R^d} \|f(x) - x\|$$ ser fijo. Para cada una de las $y\in \mathbb R^d$ (en la imagen), vamos a $D$ ser grande, por lo que $D \ge 2c, 2\|y\|$. Restringir $f$$S_D = \{x\in \mathbb R^d: \|x\| = D\}$. Entonces si $x\in S_D$, $$\|f(x)\| = \|f(x) - x +x\| \le c+D \le \frac 32 D.$$ Por otro lado, $$D=\|x\| = \|x - f(x) + f(x)\|\le c +\|f(x)\| \Rightarrow \|f(x)\| \ge D-c \ge \frac 12 D.$$ Así $$f : S_D \to \{ x\in \mathbb R^d : \frac 12 D \le \|x\| \le \frac 32 D\} = I_D$$

Tenga en cuenta que la línea que une la $x$ $f(x)$están totalmente en $I_D$, lo $ f : S_D \to I_D$ es homotópica a la identidad y por lo tanto existe $x_0 \in \mathbb R^d$, $\|x_0\| < D$ de modo que $f(x_0) = y$. Como $y$ es arbitrario, $f$ es surjective.

Comentario Para explicar más, tenga en cuenta que si $\|x\| \le D$, luego $$\|f(x)\| \le c+D \le \frac 32 D.$$ Por lo que se puede restringir $f$ $B_D = \{ \|x \| \le D\}$para obtener $$f : B_D \to B_{\frac 32 D}.$$ Tenemos que $f|_{S_D} \subset I_D$, lo $f(B_D)$ debe contener $B_{\frac 12D}$: si no, a continuación, $f(B_D)$ pierde un punto de $z$. Pero $f|_{S_D}$ representan un elemento no trivial en $\pi_{d-1} (B_{\frac 32 D} \setminus \{z\}) \cong \mathbb Z$, lo cual no es posible como $\pi_{d-1} (B_D)$ es trivial.