¿Determinar la ubicación de múltiples cuerpos estáticos basados en su efecto "gravitacional" en un punto dinámico?

Question

Estoy escribiendo un SF de la historia, y aunque estoy seguro de que he violado la mayoría de las ciencias y las matemáticas a la Galaxia de Andrómeda y la espalda, me gustaría esta parte, al menos para ser matemáticamente exacta. Aquí es un recorrido por el problema:

Hay un grupo de objetos conocidos como 'los artefactos'. Estos artefactos tienen una mística atracción el uno al otro. Esta atracción funciones a lo largo de la misma línea como la gravedad, de tal manera que la fuerza de atracción (F) entre dos artefactos es igual a $1/r^2$ (donde r es la distancia entre los dos artefactos). Para este problema, todas las otras fuerzas que actúan sobre los artefactos pueden ser ignorados.

Si los protagonistas de poseer uno de estos artefactos y los medios para medir la fuerza total que actúa sobre él, pueden determinar la posición de los demás artefactos (que pueden ser considerados fijos)? Los protagonistas puede cambiar la posición de los artefactos que poseen entre las mediciones.

Cuántas mediciones son necesarias si sólo hay 2 artefactos (incluyendo el que está poseído por los protagonistas)? 4 artefactos? 7? 8? Hay una regla general que indica cuántas mediciones son necesarias para N artefactos?

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Lo que he hecho hasta ahora (que es básicamente la solución para que el sistema más simple):

Variables

Conocido Artefacto posición -> ($X,Y,Z$)

La fuerza en la Conocida Artefacto -> $F$

Componente X de la Fuerza en la Conocida Artefacto -> $F_X$

Y-Componente de la Fuerza en la Conocida Artefacto -> $F_Y$

Componente Z de la Fuerza en la Conocida Artefacto -> $F_Z$

Artefacto desconocido posiciones representadas por ($X_1...X_N, Y_1...Y_N, Z_1...Z_N$)

La distancia a partir de la Conocida Artefacto Artefacto N -> $r_N$

Ecuaciones

$r_N = \sqrt{(X - X_N)^2 + (Y - Y_N)^2 + (Z - Z_N)^2}$

$F = 1/r^2$

$F_X = (X_N - X)/r_N^3$

$F_Y = (Y_N - Y)/r_N^3$

$F_Z = (Z_N - Z)/r_N^3$

Solución para el Sistema de 2 Artefactos

$r_1 = \sqrt{1/F}$

$X_1 = X + F_X\cdot r_1^3$

$Y_1 = Y + F_Y\cdot r_1^3$

$Y_1 = Z + F_Z\cdot r_1^3$

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El sistema de 2 artefactos es trivial de resolver, pero las otras soluciones son más complejas. Gracias de antemano por su ayuda. También, hay un nombre para este tipo de matemáticas? He estado llamando inversa de la trilateración.

Answer 1

En riesgo de atroces a los físicos, voy a intentar responder a lo que creo que es su pregunta.

Si el número de artefactos $N$ es desconocido , entonces el problema se hace muy duro. Hay dos casos:

1. Deja que el sistema evolucione, de modo que todos los artefactos, la tuya y la de ellos, moverse. En este caso se podría comparar la evolución con las ecuaciones de movimiento predicho para resolver sobre el número y posición de los artefactos. Sin embargo, $n$-problemas con el cuerpo como este no admitir de forma cerrada soluciones: véase Wikipedia.

2. Usted simplemente mover el artefacto a su alrededor y tomar medidas, suponiendo que no hay cambio en los otros artefactos. En este caso, la "atracción gravitacional" actuará como si todos los artefactos fueron reunidos en su centro de gravedad. Por ejemplo, una pelota de tenis que cae a la Tierra actúa como si un gigante de la Tierra "entidad" en el centro del planeta está tirando de él. No hay forma de saber cuántos objetos hay en la Tierra o donde están, basados únicamente en la información.

Si el número de artefactos $N$ es conocido entonces, "en teoría", no puede ser una solución.

Ha $3N$ variables a determinar, por lo que tendría que tomar $3N$ mediciones. Entonces usted recibirá un gigante sistema no lineal de ecuaciones que casi seguro que no sería exactamente la solución (pero tal vez en su libro que es diferente!).

Todos los cambios/correcciones del ofendido físicos son más que bienvenidos :)