Dos tipos de orientación orientability de un múltiple diferenciable

Question

Deje $M$ ser una variedad diferenciable de dimensión $n$. En primer lugar me da dos definiciones de Orientability.

La primera definición debe coincidir con lo que se da en la mayoría de los topología diferencial de los libros de texto, por ejemplo Warner libro.

Orientability el uso de formas diferenciales: No existe un lugar de fuga diferencial de la forma $\omega$ grado $n$$M$.

La segunda es la de Greenberg y Harper, "Topología Algebraica". Esta es la "clase fundamental". Deje $x$ ser un punto en $X$, y deje $R$ ser un anillo conmutativo y en el siguiente las homologías son con coeficientes en $R$.

Local orientability: $R$ orientación de $X$ $x$ es una elección de un generador de la $R$-módulo de $H_n(X, X-x)$.

Por una simple aplicación de la Escisión, se ve que la homología módulo de hecho es isomorfo a $R$. Podemos también organizar una vecindad alrededor de cada punto que esta orientación puede ser "seguido de un barrio" y que es "coherente". Perdóname por ser imprecisa aquí; el detallado de los lemas se encuentran en la referencia dada anteriormente. Con este trasfondo en mente, podemos definir:

Global $R$-orientación de las $X$ se compone de: 1. Una familia $U_i$ de abrir conjuntos de cobertura de $X$, 2. Para cada una de las $i$, una orientación local $\alpha_i \in H_n(X, X -U_i)$ a lo largo de $X$, de tal manera que un "compatibilidad de condiciones", sostiene.

Aquí, de nuevo, soy impreciso acerca de la compatibilidad de la condición; por favor, compruebe en la referencia dada de arriba para más detalles. Me refiero a esto, básicamente, como una pregunta para los que ya conocen tanto las definiciones, tanto como la escritura de la segunda definición podría tomar de 2 a 3 páginas con todo lo necesario lemas.

También podemos definir la "orientación" para ser un mundial elección.

Ahora la pregunta:

Cómo hacer las dos definiciones, la primera usando formas diferenciales, y el segundo mediante homología, partido?

Por supuesto, para que coincida tenemos que tomar en $\mathbb{Z}$ a ser el anillo de la base de la homología. Es un interrogante sobre el sentido de la orientability y orientación cuando queremos hacer un anillo base distinta de $\mathbb{Z}$. Es agradable cuando el anillo de la base es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$; cada colector es orientable. Pero lo que en la tierra no significa tener $4$ posibles orientaciones para el círculo o línea real por ejemplo, cuando usted toma el anillo de la base a se $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$?

También me pregunto, ¿hay otras formas de definir orientability/orientación para una variedad diferenciable(no solo de un espacio vectorial)?

Answer 1

Si $X$ es una variedad diferenciable, por lo que ambas nociones están definidos, entonces coinciden.

Los `parches" de local orientaciones que usted describe puede ser expresado más formalmente como sigue: hay un localmente constante gavilla $\omega_R$ $R$- módulos en $X$ cuyo tallo en un punto es $H^n(X,X\setminus\{x\}; R).$ De curso $\omega_R = R\otimes_{\mathbb Z} \omega_{\mathbb Z}$.

Este haz se llama la orientación de la gavilla, y aparece en la formulación de la dualidad de Poincaré para no-necesariamente orientable colectores. No es el caso de que cualquier sección de esta gavilla da una orientación. (Por ejemplo, siempre tenemos la sección cero.) Creo que la definición habitual sería algo así como una sección en la que se genera cada tallo.

Ahora voy a trabajar sólo con los $\mathbb Z$ coeficientes, y escribir $\omega = \omega_{\mathbb Z}$.

Desde los tallos de $\omega$ libre de rango uno más de $\mathbb Z$, a la revisión de ellos juntos terminan dando un 1-cocyle con valores en $GL_1({\mathbb Z}) = \{\pm 1\}.$ Así subyacente $\omega$ más elemental gavilla, un localmente constante gavilla que es una de las principales paquete para $\{\pm 1\}$. De manera equivalente, una cosa es un grado dos (no necesariamente conectado) cubrir el espacio de $X$, y es precisamente la orientación de la cubierta doble de $X$.

Ahora dando una sección de $\omega$ que genera cada tallo, es decir, dar una orientación de $X$, es precisamente el mismo que dar una sección de la orientación de la cubierta doble (y por lo $X$ es orientable, es decir, admite una orientación, precisamente cuando la orientación de la cubierta doble está desconectado).

En lugar de cortar de un localmente constante en el rango 1 gavilla $\mathbb Z$ a simplemente una cubierta doble, también se podría construir para obtener algunos de los más grandes poleas.

Por ejemplo, existe la gavilla ${\mathcal C}^{\infty}\_X$ de las funciones lisas en $X$. Podemos formar el producto tensor ${\mathcal C}^{\infty}\_X \otimes_{\mathbb Z} \omega,$ para obtener una localmente libre gavilla de rango uno más de ${\mathcal C}^{\infty}$, o lo que es equivalente, la gavilla de las secciones de una línea de paquete en la $X$. Este es, precisamente, la línea de haz de la parte superior dimensiones de las formas en $X$.

Si damos una sección de $\omega$ dando lugar a una orientación de $X$, se $\sigma$, luego tenemos sin duda un lugar de cero sección de ${\mathcal C}^{\infty}\_X \otimes_{\mathbb Z} \omega$, es decir,$1\otimes\sigma$.

Por otro lado, si tenemos un lugar cero sección de ${\mathcal C}^{\infty}\_X \otimes_{\mathbb Z} \omega$, then locally (say on the the members of some cover $\{U\_i\}$ of $X$ by open balls) it has the form $f\_i\otimes\sigma\_i,$ where $f\_i$ is a nowhere zero real-valued function on $U\_i$ and $\sigma\_i$ is a generator of $\omega\_{| U\_i}.$

Desde $f\_i$ está en ninguna parte de cero, es siempre positiva o siempre negativa; escribir $\epsilon\_i$ para denotar su signo. Entonces es fácil ver que las secciones $\epsilon_i\sigma\_i$ de $\omega$ pegamento para darle una sección de $\sigma$ $X$ que proporciona una orientación.

Se ve también que dos diferentes en ninguna parte de cero en el volumen de las formas que dará lugar a la misma orientación si y sólo si su relación es una función positiva en todas partes.

Este reconcilia las dos nociones.

Answer 2

Su principal pregunta fue respondida por Emerton. Con respecto a otros conceptos de orientability, hay muchos. Una popular es la obstrucción de la teoría de la aproximación:

1) Un colector $M$ es orientable si la tangente bundle $TM$ admite una banalización cuando se limita a una $1$-esqueleto de un CW-descomposición de $M$. Una orientación de $M$ se toma para ser un (homotopy clase de) la banalización de $TM_{|M^0}$ que se extiende en el $M^1$.

2) [Corregido para tomar en cuenta Chris comentario] Se puede reformular la definición 1 de una manera que evita skeleta. Popular es definir los asociados ortogonal (principal) de paquete a $TM$, vamos a llamarlo $O(TM)$. Este es el paquete de más de $M$ cuyas fibras más puntos de $p \in M$ es el lineal isomorphisms entre el$\mathbb R^m$$T_pM$. A continuación, $M$ es orientable si cada bucle de $S^1 \to M$ ascensores para un bucle de $S^1 \to O(TM)$.

3) Hay una pequeña variante en estas ideas se llama la "orientación de la cubierta", esto es un 2-toldo que cubre el espacio de $M$, y está conectado si y sólo si $M$ es no orientable. Esta es la suposición de que $M$ está conectado.

4) Otra variante de esto viene de paquete de la clasificación-el espacio de la maquinaria. Cada vector paquete tiene una clasificación de mapa de $M \to B(GL_m)$, e $GL_m$ tiene un subgrupo positiva de los determinantes de las matrices, lo llaman $GL^+_m$. $M$ es orientable si y sólo si la clasificación del mapa de $M \to BGL_m$ ascensores de un mapa de $M \to BGL^+_m$, y una orientación que es un homotopy de clase de dichos ascensores (lo suficientemente flexible como para permitir homotopy de la original de la clasificación de mapa).

De todos modos, esos son unos pocos. Hay, por supuesto, más a partir de todas estas ideas admitir las perturbaciones en varias direcciones. Por ejemplo, otra pequeña variante sería que el 1 de Stiefel-Whitney clase es trivial. Una de las ventajas de los enfoques (1), (2), (4) es que alguno de ellos son naturales de plomo en otras nociones de orientación, como $spin$ o $spin^c$ estructuras.

Answer 3

También me pregunto, ¿hay alguna formas adicionales para definir orientación orientability de un múltiple diferenciable (no sólo para un espacio del vector)?

Otra noción de orientability es la existencia de un atlas, cuyas funciones de transición tienen derivados con determinante positivo por todas partes. Esto proporciona una manera clara, junto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, de mostrar que cada variedad compleja (por ejemplo, para simplificar, una superficie de Riemann) es orientable.

Answer 4

Hablando personalmente, yo no estaba muy cómodo con la noción de orientación hasta que entendí el concepto de vector de paquetes, por lo que voy a decir sobre eso.

Dado un vector paquete de $\pi: E \to B$, primero seleccione una orientación para cada fibra,$\pi^{-1}(b)$. El paquete estará orientado es usted hizo estas opciones en una manera coherente y las dos siguientes son equivalentes las nociones de 'coherente'.

1) Para cada punto de $b$ $B$ tiene un vecindario $N$ ejemplo de que hay secciones $s_1, \ldots, s_r: N \to E$ tal que para todo $n \in N$: {$s_1(n), \ldots, s_r(n)$} es una orientada a base de la fibra de $\pi^{-1}(n)$.

2) Cada punto de $b$ $B$ es un vector paquete gráfico de $\phi:N \times \mathbb{R}^r \to \pi^{-1}(N)$ tal que $\phi(n,\cdot): n \times \mathbb{R}^r \to \pi^{-1}(n)$ es la orientación de la preservación.

Olvidar acerca de la selección de una orientación para cada fibra antes de tiempo, siendo orientable también es equivalente a:

3) Usted puede cubrir $B$ con el vector paquete de gráficos de $\phi:N \times \mathbb{R}^r \to \pi^{-1}(N)$ tal que para cualquier par de $\phi$ $\psi$ el isomorfismo lineal $n \times \mathbb{R}^r \stackrel{\phi(n,\cdot)}{\to} \pi^{-1}(n) \stackrel{\psi(n,\cdot)^{-1}}{\to} n \times \mathbb{R}^r$ es la orientación de la preservación.

4) es distinto de cero de la sección de la línea bundle $\wedge^rE \to B$.

Ahora un colector $M$ ser orientable, es equivalente a su tangente paquete de ser orientable. Dado lo que se ha dicho, la forma más rápida de ver que esto se tenga en cuenta que un valor distinto de cero n-forma en $M$ es, por definición, un valor distinto de cero de la sección del haz de $\wedge^n (T^\*M)$. (Nota: $T^\*M$ es orientable iff $TM$ es orientable, ya que son isomorfos como paquetes mediante la selección de una métrica de Riemann.)

El ejemplo canónico de un nonorientable paquete es la Mobius bundle, que es la línea de paquete sobre el circulo cuyo espacio se ve como una banda de Möbius. En términos de 1) este paquete no es orientable, ya que si se escoge un valor distinto de cero de la sección (vector) en un punto y tratar de extender a todo el círculo, en el momento de volver a donde comenzó su vector es ahora apuntando para otro lado.