Homotopía teorías del campo cuántico como Funtor

Question

Un homotopy la teoría cuántica de campos es una monoidal simétrica functor $\tau:\mathrm{HCobord}(n,X)\to\mathrm{Vect}_{\mathbb{K}}$, $X$ un camino conectado espacio con punto de base $\ast$. Es el siguiente diagrama (ver la página 15 de este ArXiv artículo): \begin{multline} \begin{matrix} \mathrm{Cobord}(n) &\rightleftarrows\space \mathrm{HCobord}(n,X) &\longleftarrow& \pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)\\ \searrow & \downarrow & \swarrow & \\ & \mathrm{Vect}_{\mathbb{K}}\\ &\downarrow&\\& \mathrm{Set} \end{de la matriz} \end{multline} Un homotopy QFT restringido para el dominio $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$ es un functor contravariante $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)\to\mathrm{Vect}_{\mathbb{K}}\hookrightarrow\mathrm{Set}$, que es localmente constante gavilla en $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$, es decir, una gavilla de las secciones de cubrir el espacio de $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$. Nos deja denotar por $\mathrm{LSheaf}\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$ la categoría de localmente constante poleas en $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$. A continuación, $\mathrm{LSheaf}\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)\hookrightarrow \mathrm{Sh}\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)\hookrightarrow \mathrm{PSh}\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$.

La proposición: Bucles en $\mathrm{Map}(S^n,X)$ $X$- cobordisms, ya $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)\hookrightarrow\mathrm{HCobord}(n,X)$.

Es el sobre de la proposición y el argumento de arriba correcta?

En el siguiente artículo, escrito está que una cadena de conexión se asigna a un bucle de un espacio vectorial y asigna a cobordisms entre los bucles, transformaciones lineales. Por lo tanto,

De lo anterior se sigue que la cadena de conexiones definidas en el vector asociado paquete de más de $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$ como se define en el artículo anterior están homotopy las teorías cuánticas del campo restringido para el dominio $\pi_1\mathrm{Map}(S^n,X)$? ¿Qué es exactamente lo que significa para una cadena de conexión para ser un HQFT?

Answer 1

Un bucle en $\text{Map}(S^n,X)$ es sólo un mapa de $S^{n+1}\to X$. Así que es un $X$-cobordism, a pesar de que uno sin límite, es decir, un cobordism entre el$\emptyset$$\emptyset$. Una $n$-dimensiones HQFT asigna el campo base $k$$\emptyset$, por lo que la multiplicación por un elemento de a $k$ a un bucle. Por otra parte, un $n+1$-HQFT asignará un espacio vectorial a un bucle visto como un $X$-colector. Por lo que este último es el caso relevantes para su artículo segundo. En un áspero sentido a su segunda pregunta, a continuación, de la siguiente manera, aunque veo ninguna razón para que una cadena de conexión debe extenderse a una HQFT en general.