$y =f(x) =(ax^2 + bx +c)/(dx^2+ex+f)$ Tenemos que encontrar las condiciones para esto toma todos los valores reales.

Question

$$ y = f (x) = \frac {ax ^ 2 + bx + c} {dx ^ 2 + ex + f} $$ tenemos que encontrar las condiciones para que este se lleva todos los valores reales.

MI solución

Un enfoque es equiparar a y y de una cuadrática de x y discriminante mayor que igual a 0... que es muy largo. ¿Es cualquier método su mejor...?

Answer 1

Asumiendo $a,d\neq0$, Factor $a$$d$, presentando $b',c',e',f'$, por lo que no tengo para escribir fracciones:

$$y=f(x)=\frac{a}{d}\frac{x^2+b'x+c'}{x^2+e'x+f'}=\frac{a}{d}\left(1+\frac{(b'-e')x+(c'-f')}{x^2+e'x+f'}\right)$$

Así que lo que están buscando es el rango de $\frac{(b'-e')x+(c'-f')}{x^2+e'x+f'}$$\mathbb{R}$.

Esto es imposible si el denominador no tiene ceros, porque en ese caso, la curva no tiene asíntotas verticales, es continua sobre todos los de $\mathbb{R}$, y ha $y=0$ como una asíntota horizontal. De modo que el denominador tiene ceros, y podemos considerar las $\frac{(b'-e')x+(c'-f')}{(x-r)(x-s)}$ donde quizá $r=s$.

Suponga $r\neq s$. Si el numerador no es idéntica $0$, entonces esta función, definitivamente, tiene al menos una asíntota vertical de grado $1$, y una asíntota horizontal en $y=0$. No es una cuestión de si la función alcanza la salida de $0$. Si y sólo si $b'\neq e'$ y la raíz del numerador, $\frac{f'-c'}{b'-e'}$, no es ni $r$ ni $s$. Ahora, si la función alcanza la salida de $0$, se consigue todas las salidas cuando se consideran los posibles arreglos de los dos grados-uno asíntotas verticales.

Si $r=s$, entonces hay dos casos, y no

• El numerador tiene una raíz y es $r$. Pero entonces estamos buscando a la recíproca de una función lineal y ese tipo de cosas nunca tienen todos los de $\mathbb{R}$ como su rango.
• De lo contrario, no hay una sola asíntota vertical de grado $2$ con ambos brazos adyacentes, ya sea hacia arriba o hacia abajo. Desde la asíntota horizontal es todavía $y=0$, ya sea arbitrariamente alto positivo de salida o arbitrariamente alto negativo de salida son perdidas.

Así que en resumen, todas las asumiendo $a,d\neq0$, debe tener $$\begin{align} b'&\neq e'&e'^2&>4f'&\frac{f'-c'}{b'-e'}&\neq r,s\\ \iff b'&\neq e'&e'^2&>4f'&\frac{f'-c'}{b'-e'}&\neq \frac{-e'\pm\sqrt{e'^2-4f'}}{2}\\ \iff \frac{b}{a}&\neq \frac{e}{d}&\frac{e^2}{d^2}&>4\frac{f}{d}&\frac{\frac{f}{d}-\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}-\frac{e}{d}}&\neq \frac{-\frac{e}{d}\pm\sqrt{\frac{e^2}{d^2}-4\frac{f}{d}}}{2}\\ \iff bd&\neq ae&e^2&>4df&\frac{af-cd}{bd-ae}&\neq \frac{-e\pm\sqrt{e^2-4df}}{2d}\\ \iff bd&\neq ae&e^2&>4df&2d(af-cd)&\neq (bd-ae)\left[-e\pm\sqrt{e^2-4df}\right] \end{align}$$

Creo que la última de estas tres condiciones es equivalente a: $$(af-cd)^2\neq (ae-bd)(bf-ce)$$ He encontrado esto por aislar el radical, cuadrado, y de condensación como de los términos y de factoring, lo que quedaba. Es posible que hice un error durante todas las que.

Answer 2

Encontrar los números que hacen que la parte inferior cero. No se puede dividir por cero.

Answer 3

$$f\left( x \right) =\frac { a{ x }^{ 2 }+bx+c }{ d{ x }^{ 2 }+ex+f } =\frac { a{ x }^{ 2 }+bx+c }{ d\left( { x }^{ 2 }+\frac { e }{ d } x+\frac { f }{ d } \right) } =\frac { a{ x }^{ 2 }+bx+c }{ d\left( { x }^{ 2 }+\frac { e }{ d } x+\frac { e^{ 2 } }{ 4{ d }^{ 2 } } -\frac { e^{ 2 } }{ 4{ d }^{ 2 } } +\frac { f }{ d } \right) } =\\ =\frac { a{ x }^{ 2 }+bx+c }{ d{ \left( x+\frac { e }{ 2d } \right) }^{ 2 }+\frac { 4fd-{ e }^{ 2 } }{ 4{ d } } } $ $ así que rango es %#% $ #%