Recuento de grados de libertad en el formalismo espinor-helicidad

Question

Sólo un par de preguntas rápidas sobre el formalismo espinor-helicidad.

Comenzamos con $p^\mu$ y $\epsilon^\mu$ por lo que tenemos ocho grados de libertad. Entonces tenemos que $p^\mu p_\mu = 0$ y que $\epsilon^\mu p_\mu = 0$ que lo reducen a seis. También hay libertad para elegir el calibre, lo que significa que $\epsilon^\mu \rightarrow \epsilon^\mu + c p^\mu$ para $c \in \mathbb{R}$ no puede afectar a la física, lo que creo que reduce el sistema en un grado de libertad más. Así que esto nos da cinco grados de libertad restantes.

Entonces pasamos a la notación espinor-helicidad para reducir esta redundancia, y en su lugar utilizamos $P_{a\dot{a}} = p_\mu \sigma^\mu_{a\dot{a}} = \lambda_a \tilde{\lambda}_\dot{a}$ . Dado que las lambdas se construyen a partir de $p^\mu$ concluyo que codifican los tres grados de libertad de nuestro vector momento nulo.
Construimos ahora dos vectores de polarización de helicidad diferentes, utilizando las lambdas
$\epsilon^{-}_{a\dot{a}} = -\sqrt{2}\frac{\lambda_a \tilde{\mu}_\dot{a}}{[\tilde{\lambda}\tilde{\mu}]}$
y
$\epsilon^{+}_{a\dot{a}} = -\sqrt{2}\frac{\mu_a \tilde{\lambda}_\dot{a}}{\langle\lambda\mu\rangle}$

Dónde $\mu$ y $\tilde{\mu}$ son espinores de referencia aribitarios, que representan la elección del gauge. Dos preguntas:
1) ¿Qué ha pasado con los dos grados de libertad del vector de polización original? Parece que hemos construido nuestros nuevos vectores de polarización completamente a partir de los tres grados de libertad de nuestro impulso
2) Acepto de buen grado que la elección de $\mu$ corresponde a la elección del gauge como está escrito para el vector de polarización, pero no puedo verlo explícitamente. ¿Puede alguien ayudarme a entender por qué?

Answer 1

Primera pregunta

Tiene razón en que hemos "perdido" dos grados de libertad al definir $\epsilon^+$ y $\epsilon^-$ como arriba. Esto se debe a que sólo son elecciones de vectores base.

En QFT solemos trabajar con alguna base simple de vectores de polarización, de hecho serán suma/media de al calcular la sección transversal.

Los dos grados de libertad "perdidos" pueden recuperarse fácilmente considerando un vector de polarización general $\epsilon=\alpha \epsilon^+ + \beta\epsilon^-$ .

Segunda pregunta

Consideremos los dos vectores de polarización

$$\epsilon^+ = \frac{|p\rangle[q|}{[p \ q]} \quad\textrm{ and } \quad\tilde\epsilon^+ = \frac{|p\rangle[r|}{[p \ r]}$$

donde $|r]$ y $|q]$ son linealmente independientes. Supongamos que existe alguna constante $C$ tal que $\epsilon^+ = \tilde\epsilon^+ +C|p\rangle[p|$ . En otras palabras

$$\frac{|p\rangle[q|}{[p \ q]}-\frac{|p\rangle[r|}{[p \ r]}=C|p\rangle[p| $$

Contratación de ambas partes con $|q]$ muestra que

$$C = \frac{[q \ r ]}{[p \ r][p \ q]}$$

Debemos comprobar que se trata de una elección válida al contraer ambos lados con $|r]$ es decir

$$\frac{[q \ r]}{[p \ q]}=\frac{[q \ r ]}{[p \ r][p \ q]}[p \ r]$$

lo cual es trivialmente cierto. De ahí nuestra suposición de la existencia de $C$ se justifica a posteriori.