Deje $M$ ser un completo conectado de Riemann colector. Fix $p \in M$.
Asumir cada punto en $M$ tiene un único minimizar geodésica de la conexión a $p$. Es cierto que para cada punto, la única geodésica de la conexión a $p$ es la minimización de uno?
(¿ La respuesta de cambiar si queremos contar periódico geodésica como uno?)
Observaciones:
(1) En todos los ejemplos que he comprobado hasta ahora esto es. Por supuesto, si para algunos $q \in M$ hay un único minimizar geodésica, no implica que exista una única geodésica de $p$ $q$(piense en un círculo).
Para las esferas,tori,cilindros - la reclamación vacuously se mantiene, ya que no hay ningún punto de la satisfacción de las hipótesis (cada punto tiene un "antipodal" el punto donde hay más de una minimizando geodésica).
(2) Si la afirmación es verdadera, implica algo bastante fuerte en los colectores donde minimizando geodesics son siempre únicas; Por esta respuesta un colector debe ser diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$ (a través de la exponencial mapa).
En realidad, uno puede adaptar el argumento de que la respuesta a ver que si hay un punto en $p$ (que minimizar geodesics de ella a todos los demás puntos son únicos), entonces el colector será diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$.
Por lo tanto, para refutar la conjetura, es suficiente para encontrar un colector con una tal punto que no es diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$.
