¿Existe una correspondencia 1-1 entre simetría y teoría de grupos?

Question

El profesor de mi clase de física matemática introduce la definición de grupos y dijo que esa teoría del grupo es la matemática de la simetría.

Dio también algunos ejemplos de grupos como el conjunto de todos los números verdaderos bajo adición.

Mi pregunta es ¿qué simetría hablamos aquí cuando consideramos el conjunto de todos los números verdaderos bajo adición?

Answer 1

1. Por un lado, un grupo de $G$ es un concepto puramente matemático.

2. Por otro lado, dado un sistema de $S$ en el que un grupo de $G$ actúa $G\times S \to S$. El sistema de $S$ a continuación, se constituye en un (posiblemente no lineal se dio cuenta de) representación del grupo $G$. El sistema de $S$ puede en ciertos casos ser invariantes bajo la acción del grupo, y en tales casos decimos que el sistema de $S$ posee un $G$-simetría.

3. En física, $S$ es típico de un conjunto de ecuaciones, o una acción (que no debe confundirse con la noción de un grupo de acción).

4. El grupo Abelian $G=(\mathbb{R},+)$ que OP menciona es aplicado en muchos sistemas físicos. Podría ser la traducción de la simetría de un sistema físico en una dirección dada, como Maksim Zholudev escribe en un comentario. Pero esta es sólo una de muchas posibilidades, y no hay una correspondencia 1-1 entre los grupos y las simetrías en un estricto sentido matemático.

5. Por último, tenga en cuenta que la noción de un grupo de $G$ puede ser debilitado/generalizada de varias maneras, por ejemplo, a un groupoid.

Answer 2

Hay una correspondencia uno a uno entre la simetría y la teoría de grupos por la sencilla razón de que si a es Una simetría y B es una simetría, entonces también lo es B, seguido por A. Esto implica que las simetrías formar un grupo, donde el grupo de la ley es la composición de los mapas (una simetría es un mapa).

Traducción a lo largo del eje real es la física de la simetría de la traducción en tiempo. Como se ha señalado por Wiener, es un hecho importante si queremos empezar un experimento en el tiempo $ t =0$ y para medir los resultados en tiempo $t = 4$, las respuestas son, físicamente, el mismo que si se hubiera iniciado el experimento en tiempo $t=21$ y para medir los resultados en tiempo $t=25$.

Esta es la razón por la que el análisis de Fourier es útil... siempre que haya un grupo de simetría, las representaciones de ese grupo son útiles. Las representaciones del grupo de traducción son las funciones exponenciales para el análisis de Fourier, la descomposición de una función arbitraria en combinaciones de diferentes funciones exponenciales, es útil.