Muestran que

Question

Considerar el % de integrales $(1)$y $(2)$, como por mostrar que

(1): $I=J$

(2): and $I=J={\ln(7+4\sqrt{3})\over 4\sqrt3}?$

$$\int_{0}^{\pi/2}{\tan x\over \sqrt{(1+\tan^2 x)(1+\tan^6 x)}}\mathrm dx=I\tag1$$

$$\int_{0}^{\pi/2}{\tan^3 x\over \sqrt{(1+\tan^2 x)(1+\tan^6 x)}}\mathrm dx=J\tag2$$

Un intento:

$u=\tan x$ $\implies du=\sec^2 x dx$

$(1)$ se convierte

$$\int_{0}^{\infty}{u\over\sqrt{(1+u^2)(1+u^6)}}\cdot{\mathrm du\over 1+u^2}\tag3$$

$v=1+u^2$ luego

$${1\over 2}\int_{1}^{\infty}{\mathrm dv\over \sqrt{v[1+(v-1)^3]}}\tag4$$

---

$u=\tan^3 x$ $\implies du=3\tan^2 x\sec^2 x dx$

$(2)$ se convierte

$${1\over 3}\int_{0}^{\infty}{u^{1/3}\over\sqrt{(1+u^2)(1+u^6)}}\cdot{\mathrm du\over 1+u^{2/3}}\tag5$$

No estamos seguros de cómo continuar desde aquí...

Answer 1

Para demostrar que $I = J$ , ten en cuenta que

$$I-J = \int^{\pi/2}_0 \frac{\tan x-\tan^3 x}{\sqrt{(1+\tan^2 x)(1+\tan^6 x)}}\mathrm dx = \int^{\pi/4}_{-\pi/4} \frac{\tan (\pi/4-x)-\tan^3 (\pi/4-x)}{\sqrt{(1+\tan^2 (\pi/4-x))(1+\tan^6 (\pi/4-x))}}\mathrm dx$$

Tenemos que demostrar que la siguiente función es impar

$$f(x) = \frac{\tan (\pi/4-x)-\tan^3 (\pi/4-x)}{\sqrt{(1+\tan^2 (\pi/4-x))(1+\tan^6 (\pi/4-x))}}$$

Ahora uso que

$$\tan\left(\frac{\pi}{4} -x\right) = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$$

Después de expandir el denominador y el numerador nos damos cuenta de

$$\tan (\pi/4-x)-\tan^3 (\pi/4-x)=\frac{-\cos(x) + \cos(3 x) + \sin(x) + \sin(3 x)}{(\cos x + \sin x)^3}$$ $$(1+\tan^2 (\pi/4-x))(1+\tan^6 (\pi/4-x))=\frac{10 - 6 \cos(4 x)}{(\cos x + \sin x )^8}$$

Por lo tanto

$$f(x) = \frac{(-\cos(x) + \cos(3 x) + \sin(x) + \sin(3 x))(\sin x+ \cos x)}{\sqrt{10 - 6 \cos(4 x)}}$$

Curiosamente esto se simplifica a

$$f(x) = \frac{\sin(4x)}{\sqrt{10 - 6 \cos(4 x)}}$$

Por lo tanto $f(x)$ es extraño que imlies

$$I-J = \int^{\pi/4}_{-\pi/4} f(x) \,dx = 0$$

Ahora con lab bhattacharjee resultado y $I=J$

$$4I=\int_0^{\infty}\dfrac{4du}{(3+2u-1)\sqrt{3+(2u-1)^2}} = {\log(7+4\sqrt{3})\over \sqrt3}$$

lo que implica

$$J=I= {\log(7+4\sqrt{3})\over 4\sqrt3}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$2(I+J)=\int_0^{\pi/2}\dfrac{2\tan x(1+\tan^2x)}{\sqrt{(1+\tan^2x)(1+\tan^6x)}}dx$$

Set $\tan^2x=u$ $$2(I+J)=\int_0^{\infty}\dfrac{du}{\sqrt{(1+u)(1+u^3)}}$$

$$=\int_0^{\infty}\dfrac{4du}{(3+2u-1)\sqrt{3+(2u-1)^2}}$$

Set $2u-1=\sqrt3\tan v$ $$2(I+J)=\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\dfrac{2\sqrt3\sec v\ dv}{3+\sqrt3\tan v}=\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\dfrac{2\ dv}{\sqrt3\cos v+\sin v}=\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\csc(v+\pi/3)dv$$