¿Cómo se trama la gráfica de $y = \sin(x)+\cos(x)$ convirtiendo en otra forma?

Question

¿Hay cualquier identidad trigonométrica que puede facilitar el diagrama? No tengo ni idea cómo se convierte en una forma gráfica de pecado al final.

Answer 1

Caso Especial

No es tan difícil. Usted sólo debe utilizar la suma de la fórmula de los senos:

$$\sin (x + y) = \sin (x)\cos (y) + \cos (x)\sin (y)$$

Así es como funciona

$$\eqalign{ \sin (x) + \cos (x) y= \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }}\cos (x) + {1 \over {\sqrt 2 }}\sin (x)} \right) \cr &= \sqrt 2 \left( {\sin ({\pi \más de 4})\cos (x) + \cos ({\pi \más de 4})\sin (x)} \right) \cr &= \sqrt 2 \sin (x + {\pi \más de 4}) \cr} $$

Eso es todo lo que usted necesita hacer para este caso. Si usted está interesado en abordar abajo el caso general, luego de leer la secuela.

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Caso General

Considere la posibilidad de una combinación lineal de $\sin \alpha x$ $\cos \alpha x$ como sigue

$$y = A \cos \alpha x + B \sin \alpha x$$

donde $A$ $B$ son algunos de los verdaderos constantes. Entonces podemos reescribir $y$ de esta manera

$$y = \sqrt{A^2+B^2} \left( \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \cos \alpha x + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \sin \alpha x \right)$$

Ahora, la magia entra! Podemos encontrar un único ángulo de $\phi$ en el intervalo de $[-\pi,\pi)$ tal que

$$\begin{array}{} \sin \phi = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ \cos \phi = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{array}$$

y por lo tanto

$$y = \sqrt{A^2+B^2} \left( \sin \phi \cos \alpha x + \cos \phi \sin \alpha x \right) \\$$

Finalmente, mediante la suma de la fórmula para sines tenemos

$$y = \sqrt{A^2+B^2} \sin(\alpha x+\phi)$$