Claramente podríamos multiplicar ambos lados de $$\left(\dfrac{6x}{6-x}\right)^2+x^2=400$ $(6-x)^2$ que conduce a una ecuación polinómica de grado 4, que podemos resolver usando la fórmula cuadrática bi. Por otra parte, podemos aproximar las soluciones utilizando el método de Newton. Sin embargo, tengo la sensación existe una forma mucho más elegante para solucionar esto. Cualquier ayuda es apreciada.
Respuestas
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La cuártica (o bi-cuadrática) polinomio de $x$ puede ser factorizado en dos polinomios cuadráticos con coeficientes en $\mathbb{Z}[\sqrt{109}]$, por lo que la forma cerrada de expresión para que las raíces no es tan terrible como puede ser en general.
Compensación de las fracciones que uno obtiene:
$$ x^4 - 12x^3 - 328x^2 + 4800x - 14400 = 0 $$
A continuación, observe que:
$$ x^4 - 12x^3 - 328x^2 + 4800x - 14400 = (x^2 - Ax + 6A)(x^2 - Bx + 6B) $$
siempre $A+B = 12$$AB = -400$.
De ello se desprende que las raíces de $x$ puede ser encontrado mediante la resolución de las respectivas ecuaciones cuadráticas con $A = 6 + 2\sqrt{109}$$B = 6 - 2\sqrt{109}$.
Más explícitamente:
$$ x = 3 - \sqrt{109} \pm \sqrt{82 + 6\sqrt{109}}\;,\; 3 + \sqrt{109} \pm \sqrt{82 - 6\sqrt{109}} $$
Una estimación aproximada muestra que las expresiones bajo los radicales son todos positivos, y por lo tanto las cuatro raíces son de hecho verdaderas raíces.
¿Cómo fue la reducibilidad del polinomio reconocido?
Inicialmente vi que el establecimiento $y = \frac{6x}{x-6}$ conduce a un sistema de ecuaciones:
$$ x^2 + y^2 = 20^2 $$
$$ (x - 6)(y - 6) = 36 $$
Geométricamente esta pregunta por la intersección de un círculo de radio $20$ centrada en el origen y un "derecho" de una hipérbola con centro de $(6,6)$. Ya que ambas curvas son simétricas respecto a la línea de $y = x$, se deduce que cuando se $(x,y)$ es un punto de intersección, por lo que también es $(y,x)$.
Algebraicamente, esto equivale a decir que el $x \mapsto \frac{6x}{x-6}$ es una involución que pares hasta las raíces $x$. Un poco de scratchwork mostró que la vinculación de las raíces de esta manera los resultados en los factores de $x^2 - Ax + 6A$ $x^2 - Bx + 6B$ donde $A,B$ son raíces de $w^2 - 12w - 400 = 0$.
kilimanjaro
Puntos
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Tenga en cuenta que tiene:
$\left(\dfrac{6x}{6-x}\right)^2+x^2=400$....... (A)
Ahora,
$[\left(\dfrac{6x}{6-x}\right) -x]^2$=
$\left(\dfrac{x^2}{6-x}\right)^2$=$400$-$12$$\left(\dfrac{x^2}{6-x}\right)$... [usando la identidad $(a-b)^2$de % seguido de by(A)]
Ahora a poner $t=\left(\dfrac{x^2}{6-x}\right)$ [teniendo en cuenta que $x\ne6$] y obtener una cuadrática en $t$ que te da dos valores de $t$. Entonces compararse cada $t$ $\left(\dfrac{x^2}{6-x}\right)$, resolver $x$... etcetera.
P.S.:I n caso de dificultad, por favor, comentario.
