¿Cómo encontrar el ángulo entre dos ecuaciones de línea recta?

Question

El Problema

Hay dos líneas rectas con ecuaciones como sigue

y=-2x+10 y y=-3x+6

su punto de intersección es (2,6) y se me pide que encuentre el ángulo entre ellos ?

Un detallado y fácil explicación sería appriciated

Fuente y fondo

CIE/Cambridge International a/Nivel de Matemáticas (9709)/Noviembre De 2005 P1 P9

(parte 3 lo resuelto un poco antes de preguntar a continuación es la cuestión si es necesario)

Answer 1

Trate de usar esta relación. Si una línea tiene la pendiente$m$, y el ángulo en que toca el eje$x$ - es$\theta$, entonces$$\tan(\theta) = m.

Answer 2

La pendiente de$y=-2x+10$ es$-2$, por lo que hace un ángulo de$\arctan (-2)$ con el eje$x$. Del mismo modo, el otro tiene una pendiente de$-3$ y hace un ángulo de$\arctan (-3)$ con el eje$x$. El ángulo entre ellos es$\arctan (-2)-\arctan(-3)\approx 0.1419$ radians.

Otro enfoque es que un vector en la dirección de la primera línea es$(1,-2)$ y uno en la dirección de la segunda es$(1,-3)$. El producto punto$(1,-2)\cdot (1,-3)=7=|(1,-2)||(1,-3)|\cos \theta=5\sqrt 2 \cos \theta$. Esto da $\theta=\frac 7{5\sqrt 2}\approx 0.1419$

Answer 3

$$d_1:y=-2x+10\Rightarrow k_1=\tan\alpha_1=-2$$ and $$d_2:y=-3x+6\Rightarrow k_2=\tan\alpha_2=-3$ $ entonces$$ \angle(d_1,d_2)=\alpha_1-\alpha_2=\arctan(\tan(\alpha_1-\alpha_2))=\arctan \frac{\tan\alpha_1-\tan\alpha_2}{1+\tan\alpha_1\tan\alpha_2}=

ps

Porque $$=\arctan\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=\arctan\frac{-2-(-3)}{1+(-2)(-3)}=\arctan\frac{1}{7}=0,14189..=8^{\circ} 07'48,37''$ $ y$$ \arctan(\tan x)=x

Answer 4

La pendiente de una línea es igual al bronceado de su ángulo de inclinación (ángulo sobre el eje x positivo), así que puedes calcular ese ángulo para cada línea y luego encontrar la diferencia. Esa es mi sugerencia inicial.