Conjunto de separación contable de un álgebra de von Neumann

Question

Estudié la siguiente proposición , pero tengo una pregunta en la prueba de esta proposición.

Deje $A$ ser un álgebra de von Neumann. Si $A$ posee una contables de la separación se establece a continuación muestran que la $A$ $\sigma-$ finito.

Prueba: Supongamos $M$ ser una contables de la separación de conjunto para $A$. Deje $\{E_i\}_{i\in I}$ ser una de a pares distintos de la familia de las proyecciones de $A$. Fr cada $x\in M$, $E_ix=0$ para todos, pero countably muchos de los índices de $i$...

Mi pregunta: ¿Cómo podemos decir que para countably muchos de los índices de $i$, $E_ix\neq 0$ ?

Answer 1

Debido a que $$\ | x \ | ^ 2 \ geq \ | \ sum_iE_ix \ | ^ 2 = \ sum_ {i, j} \ langle E_ix, E_jx \ rangle = \ sum_i \ langle E_ix, e_i \ rangle = \ sum_i \ | E_ix \ | ^ 2.$$ Ahora sólo usa el hecho de que una serie convergente sólo puede contar con muchos términos distintos de cero.