Los racionales son claramente densos en el sistema de números reales, es decir, para cada par a <b de números reales existe un número racional p / q st a <p / q <b. Conjeturo que lo mismo es cierto con p y q ambos primos. ¿Alguna idea de cómo podría probarlo? Debería depender de algún resultado fuerte en la distribución de los números primos.
Respuestas
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Sí. Tome q lo suficientemente grande y fijo (en términos de a y b). Entonces la pregunta es, ¿hay algún primo p entre qa y qb? Utilice el teorema del número primo para estimar pi (qb) - pi (qa)> 0, donde q se elige para ser lo suficientemente grande para que el término principal sea mayor que los términos de error. QED.
Vetle
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No necesita el teorema del número primo. Supongamos que el resultado es falso, es decir, para fijo ayb sólo hay un número finito de q tal que haya un primo entre qa y qb. Entonces el n-ésimo primo p n crece al menos tan rápido como (b / a) ^ n; En particular, la suma 1 / p n converge, que sabemos ser falsa (y que es totalmente elemental). (Este argumento es ligeramente espinoso para hacer riguroso, pero es sólo una cuestión de manejar constantes.)
