Condición del problema del autovalor

Question

[Ciarlet, 2.3-1] sé que este resultado:

Deje $A$ un diagonalisable matriz, $P$ una matriz tal que $$P^{-1}AP\ =\ \mbox{diag}(\lambda_i)\ =\ D,$$ y $\|\cdot\|$ una matriz norma de satisfacciones $$\|\mbox{diag}(d_i)\|\ =\ \max_i|d_i|$$ para cada matriz diagonal. A continuación, para cada matriz $\delta A$, $$\mbox{sp}(A+\delta A)\ =\ \{\mu : (A+\delta A)x=\mu x, \mbox{ for some } x\in\mathbb{C}^n\}\ \subset\ \bigcup_{i=1}^ND_i,$$ donde $$D_i\ =\ \{z\in\mathbb{C}:|z-\lambda_i|\leq\mbox{cond}(P)\|\delta A\|\}.$$

Ahora, quiero demostrar que: Si existe un entero $m$ satisfacción $1\leq m\leq n$ tales que la unión de $\bigcup\limits_{i=1}^mD_i$ de la $m$ disco de $D_i$ es distinto, la forma de la unión de $\bigcup\limits_{i=m+1}^nD_i$ restante de los $n-m$ discos (siempre es posible assum que es la primera $m$ y por último $n-m$ discos que tienen esta propiedad), el sindicato $\bigcup\limits_{i=1}^mD_i$ contiene exactamente $m$ autovalores de la matriz $A + \delta A$.

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Por favor, alguien tiene una idea para solucionarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Definir $\hat{A}(\alpha) = A+\alpha\delta A$ y tenga en cuenta que$\mathrm{sp}(\hat{A}(\alpha))\subseteq\bigcup_{i=1}^N D_i$$\alpha\in[0,1]$. Recordemos que los autovalores de una matriz dependen continuamente en los coeficientes de dicha matriz. Por lo tanto, hemos continua rutas de $\lambda_i\colon[0,1]\to\bigcup_{j=1}^N D_j$ tal que $\mathrm{sp}(\hat{A}(\alpha)) = \{\lambda_i(\alpha)|i\in\{1,\ldots,N\}\}$. Sin pérdida de generalidad podemos etiqueta de la $\lambda_i$ tal que $\lambda_i(0)\in D_i$.

Desde $\bigcup_{i=1}^m D_i$ es disjunta de a $\bigcup_{i=m+1}^N D_i$ y ya que ambos están cerradas, no hay ruta puede comenzar en el antiguo y el final en el último. Para $i\in\{1,\ldots,m\}$, $\lambda_i$ es un camino que comienza en la antigua y, por tanto, que termina en la antigua así.

Topológico intermezzo: Supongamos $A$ $B$ son conjuntos cerrados y supongamos que $p\colon[0,1]\to A\cup B$ es un camino continuo tal que $p(0)\in A$$p(1)\in B$. Por la continuidad de $p$, $p^{-1}(A)\subseteq [0,1]$ se cierra así como a $p^{-1}(B)\subseteq [0,1]$. Además, $[0,1] = p^{-1}(A\cup B) = p^{-1}(A)\cup p^{-1}(B)$, por lo tanto ya que ambos están cerradas $\inf(p^{-1}(B))\in p^{-1}(A)\cap p^{-1}(B)$. De ello se desprende que $p(\inf(p^{-1}(B)))\in A\cap B$ por lo tanto $A$ $B$ no son disjuntas.

Por contraposición, si $A$ $B$ están cerrados y disjuntos, no continuo camino de $p$ puede que existe tal que $p(0)\in A$$p(1)\in B$.

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de $\lambda_1(1),\ldots,\lambda_m(1)\in\bigcup_{i=1}^m D_i$ donde $\lambda_1(1),\ldots,\lambda_m(1)\in\mathrm{sp}(A+\delta A)$.

Por el mismo argumento de $\lambda_{m+1}(1),\ldots,\lambda_{N}(1)\in\bigcup_{i=m+1}^N D_i$ donde $\lambda_{m+1}(1),\ldots,\lambda_N(1)\in\mathrm{sp}(A+\delta A)$ probar su conjetura.