Ampliación del problema anterior, que implica $\ell^p$ círculos de normas

Question

Si mira este problema anterior , pregunté cómo hallar la suma de todas las áreas entre dos círculos de geometría de taxis. Sin embargo, al conocer $\ell^p$ normas pensé que sería muy interesante extender el problema a todos los $\ell^p$ círculos normativos, no sólo $\ell^1$ (taxi).

Si $p=1$ entonces el resultado ya se ha encontrado (el área total es $\frac{5k^2-k-4}{2}$ ). Si $p = \infty$ entonces cada "círculo" es sólo un cuadrado, y el área también se encuentra fácilmente (estoy demasiado cansado para pensar en ello, pero creo que sólo sería $4(k^2-1)$ ). ¿Existe, sin embargo, una fórmula general para el área de cada círculo y el área total de las regiones entre círculos en términos de $k$ y $p$ es decir, ¿cuál es la ecuación para el área de cada región solapada?

El área de un círculo individual, si lo he hecho correctamente, es el área de una curva de Lamé con $r = p$ y un radio de $k-n$ (véase el problema vinculado ), que es igual a $\displaystyle 4(k-n)^2\frac{(\Gamma(1+\frac{1}{p})^2)}{\Gamma(1+\frac{2}{p})}$ . Esto puede reducirse a $\displaystyle 2(k-n)^2 \frac{\Gamma(\frac{1}{p})^2}{p \Gamma(\frac{2}{p})}$ (véanse las ecuaciones 41 y 42 aquí ).

He aquí algunas imágenes explicativas:

$k=5, p=1$

$k=5, p=2$

$k=5, p=3$

Answer 1

En superellipses parece encajar en su proyecto de ley, siempre y cuando $p < \infty$ .