¿Es la gavilla del rascacielos cuasi-coherente?

Question

Supongamos que$\mathcal{F}$ es un haz de rascacielos soportado en$\bar{\{\mathfrak{p}\}}$, el tallo es$M$, ¿Cuál es su sección global sobre$\operatorname{Spec} A$?

Necesitamos encontrar un módulo$N$ tal que$N_{\mathfrak{q}}=M$ cuando$\mathfrak{q}\in V(\mathfrak{p})$ y$N_{\mathfrak{q}}=0$ de lo contrario.

¿Es el módulo$N=M$? Si es así, ¿por qué satisface las condiciones mencionadas?

Supongamos que tomamos el módulo$M=A$ las condiciones no se cumplen.

Answer 1

Deje $X$ ser un esquema y $x\in X$ ser un punto.
El problema de preguntar acerca de es más sutil de lo que parece: si quieres un rascacielos gavilla $\mathscr F$ $X$ a ser cuasi-coherente, tiene que asumir que $\mathscr F$ es una gavilla de $\mathscr O_X$-Módulos.
Sin embargo rascacielos poleas son generalmente supone (en Hartshorne, por ejemplo) para ser sólo gavillas de abelian grupos.
Aquí es cómo definir el rascacielos de poleas que se $\mathscr O_X$-Módulos:

Empezar con un $\mathscr O_{X,x}$-módulo de $M$ y considerar el punto localmente anillado espacio de $P=(\{x\},\mathscr O_{X,x})$.
El módulo de $M$ puede ser considerada como un cuasi-coherente gavilla $P$.
Ahora, hay un natural de morfismos de localmente anillado espacios de $P\to X$ y usted puede definir el $\mathscr O_X$-Módulo de $\mathscr F=j_\ast M$: este es el deseado rascacielos gavilla en $x$ construido a partir de la $\mathscr O_{X,x}$-módulo de $M$.

En el caso especial $X=\text {Spec} (A)$ de preguntar acerca de la $A$-módulo de global secciones de $\mathscr F$.
Está dada por la fórmula $\Gamma (\text {Spec} (A),\mathscr F)=M$.
Hay, sin embargo, de nuevo una sutileza: el producto de la sección global $m\in M=\Gamma (\text {Spec} (A),\mathscr F)$ por la función global $a\in A=\Gamma (\text {Spec} (A),\mathscr O)$$a_x\cdot m\in M$: usted tiene que recordar que $M$ $\mathscr O_{X,x}$- módulo y la multiplicación de las $m\in M$$a_x\in \mathscr O_{X,x}$, lo que hace sentido.

Edit: El rascacielos gavilla $\mathscr F$ no es necesariamente cuasi coherente
Como contraejemplo tomar para $X$ afín a la línea de $\mathbb A^1_k=\text {Spec}(k[T])$ sobre un campo $k$ $x$ el origen $O$ $X$ (correspondiente a la máxima ideal $(T)$) y para $M$ el $k(T)$ visto como un módulo más de $\mathscr O_{X,x}=\mathscr O_{X,O}=k[T]_{(T)}$.
A continuación, los asociados rascacielos gavilla $\mathscr F$ no es cuasi-coherente: si se nos hubiera para las secciones de $\mathscr F$ $X\setminus \{O\}=D(T)$ igualdad $\Gamma (D(T),\mathscr F)=k(T)\otimes _{k[T]} k[T, T^{-1}]=k(T)$ , mientras que en realidad $\Gamma (D(T),\mathscr F)=0$

Answer 2

Si se limita a esquemas más de $k$ para algunas de campo fijo $k$, y considerar la posibilidad de rascacielos gavillas de $k$-módulos (en lugar de sólo abelian grupos), entonces creo que el siguiente ligera variación en Georges respuesta da una manera de ver los rascacielos de poleas como cuasi-coherente de las poleas.

Deje $(X,\mathcal O _X)$ ser localmente anillado espacio de más de $k$$x \in X$. Suponga que el residuo de campo en $x$ es isomorfo a $k$, es decir, que por cada $x \in X$ canónica de morfismos

$$k \to \mathcal O _{X,x} \to \mathcal O_{X,x} / \mathfrak m _x$$

es un isomorfismo, entonces tenemos una bien definida mapa

$$\mathrm{ev}_x : \mathcal O_{X,x} \to k$$

En lugar de $(\{x\},\mathcal O _{X,x})$ tomar el punto rodeada de espacio $(\{x\},k) = \mathrm{Spec}(k)$. Tenga en cuenta que tenemos

$$\mathcal O _{\{x\}} \text{-mod} = \text{Sh}_{k \text{-mod}} (\{x\}) = k \text{-mod}$$

A continuación, $\mathrm{ev}_x$ da un morfismos de localmente anillado espacios

$$(i_x,\mathrm{ev}_x): (\{x\},k) \to (X,\mathcal O_X)$$

y functors

$$\begin{align*} f^{-1} : \text{Sh}_{k\text{-mod}} (X) & \to k \text{-mod} \\ f_\ast : k \text{-mod} & \to \mathcal O_X \text{-mod} \end{align*}$$

Para cualquier gavilla $M$ $k$- módulos en $X$ entonces tenemos el $\mathcal O_X$-módulo de $f_\ast f^{-1} M$.

Si $M$ es un rascacielos gavilla de $k$-módulos compatibles en$x$, $f_\ast f^{-1} M \cong M$ como gavillas de $k$-módulos, sino $f_\ast f^{-1} M$ $\mathcal O_X$- módulo con la acción

$$a \cdot m = (\text{ev}_x (a_x)) m$$

para cualquier abierto $U \subset X$ contiene $x$ y secciones $a \in \mathcal O_X(U)$$m \in M(U)$.

Si $(X,\mathcal O_X)$ es un esquema, a continuación, desde la $(\{x\},k)=\text{Spec}(k)$ es un esquema (a diferencia de $(\{x\},\mathcal O_{X,x})$ ), tenemos que $f_\ast f^{-1} M$ es cuasi coherente porque es el pushforward de la cuasi coherente gavilla $f^{-1}M$.

Por ejemplo, si $k$ es algebraicamente cerrado y $(X,\mathcal O_X)$ es localmente finito de tipo más de $k$, entonces la construcción de arriba te da una manera de ver cualquier rascacielos gavilla de $k$-módulos apoyados en un punto cerrado como un cuasi-coherente gavilla.