Digamos que tenemos un espacio métrico $(\mathbb{R}^+, d)$
donde la función de distancia es
$d(x,y) = |x - y| + | 1/x - 1/y |$
Entonces sostengo que este espacio métrico no es completo: Si miramos la secuencia de Cauchy $1/x$ que está contenido en el espacio métrico, vemos que el límite de la secuencia $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$ no está en el espacio métrico. Por lo tanto, el espacio métrico no es completo.
¿Estoy haciendo algo mal o es un argumento/prueba válido?
Su prueba tiene un grave defecto: la secuencia $\frac{1}x$ no es Cauchy en este espacio métrico. Nótese que (para $x,y\in \mathbb N$ ) $$d(1/x,1/y)=|x-y| + |1/x - 1/y| > |x-y| \geq 1$$ Esto significa que no puede haber $N$ tal que $d(1/x,1/y)<1$ para todos $x,y>N$ contradiciendo que sea una sucesión de Cauchy.
Milo Brandt ha mostrado lo que está mal en su argumento. De hecho $\langle\Bbb R^+,d\rangle$ es completa. Aquí tienes una pista sobre cómo puedes demostrarlo.
SUGERENCIA: Supongamos que $\sigma=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ en $\langle\Bbb R^+,d\rangle$ es $d$ -Cauchy.
Gracias. Aunque es mucho más trabajo del que imaginaba. ¿Puedes decirme por qué la métrica euclidiana tiene algún interés en relación con esta métrica?
@Fredrik: De nada. Básicamente la métrica $d$ es una forma de ajustar la métrica euclidiana lo suficiente para obtener una que sea completa en $\Bbb R^+$ . Observe que $d(x,y)$ y $|x-y|$ son casi iguales cuando $x$ y $y$ son grandes; sólo cuando te acercas $0$ que $d(x,y)$ y $|x-y|$ difieren en gran medida, y esa diferencia está cuidadosamente dispuesta para que las secuencias que convergen a $0$ en la métrica habitual ya no son Cauchy. Pero $d$ sigue siendo lo suficientemente parecida a la métrica euclidiana como para generar la misma topología.
@Fredrik En realidad se puede conseguir que esta métrica no sea más que la métrica euclidiana disfrazada - considere el mapa $f(x) = x - \frac{1}x$ . Puede demostrar que $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ . Esta observación permite levantar básicamente todas las propiedades (por ejemplo, la completitud) de $\mathbb R$ (con la métrica habitual) al nuevo espacio métrico.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
4 votos
Tenga en cuenta que $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$ debe interpretarse en términos de la métrica $d$ y no en términos de la métrica habitual en $\Bbb{R}$ .
0 votos
¿Existe una forma directa de ver que $d$ ¿es una métrica?